Question

сторона правильного пятиугольника ABCDE равна 2. Диагонали AD и DE пересекаются в точке О. найти АО

Answer 1

Диагональ, скорее всего, ВЕ, так как DE - сторона.

Для наглядности я проведу ВСЕ диагонали пятиугольника. Получилась звезда. Из правильности пятиугольника сразу следует, что все стороны этой звезды равны между собой (при повороте пятиугольника на угол 360/5, 2*360/5 и так далее звезда совпадает сама с собой, поэтому и равны все её стороны*). АО - одна из сторон этой звезды. Обозначим её длину х.

Обозначим М - точку пересечения AD и ЕС (напомню еще раз: О - точка пересечения AD и ЕВ, а не ED, как НЕ ВЕРНО сказано в условии).

Рассмотрим треугольник ЕАМ. В нем ЕМ = ЕО = АО = х. ЕО - биссектриса угла АЕМ, поскольку дуги АВ и ВС равны, а углы АЕВ и ВЕС вписанные, и опираются на них. 

Кроме того, дуга АЕ равна дуге ВС, следовательно, АВ параллельно ЕС, и - поэтому АМСВ - ромб ( параллелограмм с равными соседними сторонами).

Итак, АМ = АВ = а (по условию а = 2);

Теперь все элементарно. Из свойства биссектрисы МО/АО = МЕ/АЕ, то есть

(a - x)/x = x/a;

x^2 - a*x - a^2 = 0;

x = a*(1 + √5)/2; (отрицательное решение отброшено).

Ответ АО = 1 + √5

 

*Есть еще зеркальная симметрия относительно ВМ, и других таких прямых, которые проходят через вершину пятиугольника перпендикулярно противоположной стороне. Поэтому равны соседние стороны звезды. 

 

 

Замечание. Треугольник ЕАМ имеет угол при вершине 36 градусов (в радианах π/5) , а углы при основании ЕМ - по 72 градуса (в радианах 2*π/5). Ясно, что x/(2*a) - это косинус угла при основании, то есть 

cos(2*π/5) = (1 + √5)/4 = sin(π/10);

Таким образом, вычислены в радикалах функции углов, кратных π/10 = 18 градусам (получить остальные не трудно из тригонометрических формул).

Я не уточнял все это, потому что это было не нужно для решения. :))))

 

 

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться свойствами правильного пятиугольника. Правильный пятиугольник - это многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Поскольку сторона пятиугольника ABCDE равна 2, все стороны пятиугольника равны 2. Обозначим сторону пятиугольника как s.

Также, по свойству правильного пятиугольника, центральные углы между диагоналями равны 72 градусам. Обозначим угол между диагоналями как θ.

Теперь рассмотрим треугольник АОD. В этом треугольнике у нас есть две известные стороны, AD и AO, а также угол θ между ними. Мы можем воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти AO.

Теорема косинусов гласит: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C),

где c - длина стороны, противолежащей углу C, a и b - длины двух других сторон.

Применим эту теорему к треугольнику АОD: AO^2 = AD^2 + OD^2 - 2*AD*OD*cos(θ).

Так как OD является диагональю пятиугольника ABCDE, то OD = s. Также, поскольку пятиугольник правильный, угол θ равен 72 градусам.

Подставим эти значения в формулу: AO^2 = (2)^2 + (s)^2 - 2*2*s*cos(72°).

Теперь, зная, что у нас правильный пятиугольник, можно заменить s на 2: AO^2 = 4 + (2)^2 - 2*2*2*cos(72°).

А теперь рассчитаем значение AO: AO^2 = 4 + 4 - 8*cos(72°).

Осталось только рассчитать косинус 72 градусов. Для этого можно воспользоваться таблицей значений или калькулятором.

cos(72°) ≈ 0.309.

Подставим это значение в формулу: AO^2 = 8 - 8*0.309.

AO^2 ≈ 8 - 2.472 ≈ 5.528.

Итак, получаем, что AO^2 ≈ 5.528. Чтобы найти длину AO, возьмем квадратный корень из этого значения: AO ≈ √5.528.

Таким образом, АО ≈ 2.35 (округляем до двух знаков после запятой).

Ответ: АО ≈ 2.35.