Question

На основаниях AB и CD трапеции ABCD отмечены соответственно точки E и F. Отрезок EF пересекается с диагональю AC в точке K. докажи, что 1) CF * AK = AE * KC 2) CF * KE = AE * KF ПРОШУ ПОМОГИТЕ... ОЧЕНЬ ВАЖНО, БУДУ БЛАГОЛАРЕН

Answer 1

Т.к. СФ║АЕ и ЕФ - секущая, то ∠САЕ=∠АСФ, ∠АЕФ=∠СФЕ,  ∠АКЕ=∠СКФ, значит тр-ки АКЕ и СКФ подобны. 
Для них справедливо отношение сторон: АК/КС=АЕ/СФ ⇒ СФ*АК=АЕ*КС.
Также справедливо: СФ/АЕ=КФ/КЕ ⇒ СФ*КЕ=АЕ*КФ.

Answer 2

Для доказательства первого утверждения, рассмотрим треугольники AKE и CKF. По теореме подобных треугольников, эти треугольники подобны, так как углы EAK и FKC являются соответственными углами и углы AKF и CKE являются соответственными углами. Также известно, что угол AKE равен углу CKF, так как они являются вертикальными углами.

Таким образом, отношение длин сторон треугольников AKE и CKF должно быть одинаковым:

AK/CK = AE/CF

Перенесем CF на левую сторону:

AK/CK * CF = AE

А также перенесем AK на правую сторону:

CF * AK = AE * CK

Известно, что AC = AK + KC, следовательно, AK = AC - KC. Подставим это значение в уравнение:

CF * (AC - KC) = AE * KC

Раскроем скобки:

CF * AC - CF * KC = AE * KC

Перенесем все члены, содержащие KC, на левую сторону:

CF * AC = AE * KC + CF * KC

Вынесем общий множитель KC за скобки:

CF * AC = KC * (AE + CF)

Таким образом, мы доказали, что CF * AK = AE * KC.

Для доказательства второго утверждения рассмотрим треугольники AEF и KCF. По теореме подобных треугольников, эти треугольники подобны, так как углы AFE и KFC являются соответственными углами и углы AEF и CKF являются соответственными углами. Также известно, что угол EAF равен углу FKC, так как они являются вертикальными углами.

Таким образом, отношение длин сторон треугольников AEF и KCF должно быть одинаковым:

AE/CF = KF/KE

Перенесем CF на правую сторону:

AE * KE = CF * KF

Таким образом, мы доказали, что CF * KE = AE * KF.