Question

У велике коло сфери вписана рівнобічна трапеція ABCD, основа якої AD є діаметром великого кола. Обчисліть площу сфери, якщо угол BAD=60 AB=2

Answer 1

Ответ:
16π ед²

Решение:
Проведем высоту ВН.
∆АВН- прямоугольный треугольник
∠АВН=30°;
АН=АВ/2=2/2=1ед катет против угла ∠АВН=30°;
По теореме Пифагора
ВН=√(АВ²-АН²)=√(2²-1²)=√3 ед.
∆АВD- прямоугольный треугольник.
ВН- высота проведенная к стороне.
Пропорциональные отрезки прямоугольного треугольника:
ВН²=АН*НD; →
HD=BH²/AH=(√3)²/1=3 ед.
АD=AH+HD=1+3=4ед диаметр.
R=AD/2=4/2=2 ед.
Sсф=4πR²=4π*2²=16π ед²

Answer 2

Спочатку ми можемо знайти радіус сфери за допомогою властивості рівнобічної трапеції і використовуючи трикутник ABD.

За властивістю рівнобічної трапеції:

AB = CD = 2

Оскільки AD є діаметром великого кола, то:

AD = 2R (де R - радіус сфери)

Також, ми знаємо, що угол BAD = 60 градусів.

Тепер ми можемо розглянути трикутник ABD, який є рівностороннім трикутником через властивість рівнобічної трапеції. У рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють 60 градусів.

Застосуємо тригонометричну функцію синуса до цього трикутника:

sin(60°) = BD / AD

sin(60°) = BD / (2R)

BD = 2R * sin(60°)

BD = R * √3

Тепер ми можемо знайти площу трикутника ABD:

S_triangle = (1/2) * BD * AD

S_triangle = (1/2) * R * √3 * 2R

S_triangle = R^2 * √3

Також, ми можемо знайти площу сектора кола з центром в точці A і кутом 60 градусів:

S_sector = (60/360) * πR^2

S_sector = (1/6) * πR^2

Тепер ми можемо знайти площу поверхні сфери за допомогою формули:

S_sphere = 4πR^2

Тепер додаймо площу трикутника ABD і площу сектора кола:

S_sphere = S_triangle + S_sector

S_sphere = (R^2 * √3) + ((1/6) * πR^2)

Тепер ми можемо підставити значення BD, яке ми знайшли раніше:

S_sphere = ((R * √3)^2 * √3) + ((1/6) * πR^2)

S_sphere = (3R^2 * √3) + ((1/6) * πR^2)

Тепер ми можемо спростити вираз:

S_sphere = (3√3 + π/6) * R^2

Тепер ми знаємо, що S_sphere = (3√3 + π/6) * R^2. Однак, нам відомо, що AB = 2, тобто діаметр сфери AD = 2R = 2. Отже, R = 1.

Підставимо це значення для R в нашому виразі для площі сфери:

S_sphere = (3√3 + π/6) * (1^2)

S_sphere = 3√3 + π/6

Отже, площа сфери дорівнює 3√3 + π/6 квадратних одиниць.