Question

1) Длины ребер прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 10 см, 12 см. Найти длины его диагоналей, площадь полной поверхности, объем. 2) В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 18 см, апофема - 40 см. Найти боковое ребро пирамиды, площадь полной поверхности, объем. 3) Радиус основания цилиндра равен 7 см, а его образующая - 11 см. Найти площадь осевого сечения, площадь поверхности, объем. 4) Прямоугольник, стороны которого равны 12 см и 15 см, вращается около меньшей стороны. Найти площадь поверхности тела вращения. 5) Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов, а его высота равна 15 см. Найти площадь его боковой поверхности. 6) Образующая конуса равна 41 см, а радиус основания - 9 см. Найти его объем, площадь осевого сечения. 7) Найти площадь сечения шара радиуса 25 см, проведенного на расстоянии 7 см от центра. 8) Сферу на расстоянии 7 см от центра пересекает плоскость. Радиус сечения равен 24 см. Найти площадь сферы. 9) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см и образует с боковым ребром угол 45 градусов. Найти боковое ребро, объем пирамиды. 10) Высота правильной треугольной пирамиды равна 16 см, боковое ребро - 20 см. Найти объем пирамиды. 11) Найти объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см и острым углом 30 градусов вокруг меньшего катета. 12) Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 8√2. Найти объем цилиндра. 13) Найти площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3 см и противолежащим углом 30 градусов вокруг большего катета. 14) В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота боковой грани - 15 см. Найти боковое ребро. 20) Найти объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета.-

Answer 1

1) а=8, b=10, с=12. d=? Sполн=? V=?

V=abc=8*10*12=960

S=2(ab+bc+ac)=2(80 + 120 + 96) = 592

d^2 = a^2+b^2+c^2

d^2= 64 + 100 + 144=308

d=2sqrt{77}

 

2) a= 18,l= 40. L=?, Sполн=?, V=?

L^2 = 40^2 + 9^2 = 1681

L=41

Sполн= 18^2 + 4 * 1/2 * 40 * 9 =  1044

V = 1/3 * H * 18^2 = 1/3 * sqrt{1033} * 324 = 108sqrt{1033}

 

3) R= 7, L=11.Sос сеч=?, Sпов=?, V=?

Soc=1/2 * 14 * 11=77

Sпов=ПR(R+L)=П*7(7+11)=126П

V=1/3 * П * 49 * 6sqrt{2} = 98sqrt{2}П

 

4) a=12, b=15. Sпов=?

Sпов=2*П*12*(12+15)=648П

 5) alpha =30 градусов, h= 15 см. Sпов=?

S=2ПRh=2П*5sqrt{3}*15=150sqrt{3}П

Answer 2

1) Длины ребер прямоугольного параллелепипеда

Длины ребер прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 10 см и 12 см.

Длины диагоналей: Для прямоугольного параллелепипеда с длинами ребер a, b и c, длины его диагоналей можно найти с помощью теоремы Пифагора. Диагонали параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник, где каждая диагональ является гипотенузой, а ребра параллелепипеда - катетами.

Длина первой диагонали (d1) равна корню из суммы квадратов длин ребер: d1 = √(a^2 + b^2 + c^2)

Длина второй диагонали (d2) равна корню из суммы квадратов длин ребер, не входящих в первую диагональ: d2 = √(b^2 + c^2)

Подставляя значения длин ребер, получаем: d1 = √(8^2 + 10^2 + 12^2) = √(64 + 100 + 144) = √308 ≈ 17.55 см d2 = √(10^2 + 12^2) = √(100 + 144) = √244 ≈ 15.62 см

Площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле: S = 2(ab + bc + ac)

Подставляя значения длин ребер, получаем: S = 2(8*10 + 10*12 + 8*12) = 2(80 + 120 + 96) = 2*296 = 592 см^2

Объем: Объем прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле: V = abc

Подставляя значения длин ребер, получаем: V = 8*10*12 = 960 см^3

2) В правильной четырехугольной пирамиде

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 18 см, апофема - 40 см.

Боковое ребро пирамиды: Боковое ребро пирамиды можно найти с помощью теоремы Пифагора. Боковое ребро является катетом прямоугольного треугольника, где апофема - гипотенуза, а половина стороны основания - другой катет.

Боковое ребро (l) равно корню из разности квадрата апофемы и квадрата половины стороны основания: l = √(a^2 - (b/2)^2)

Подставляя значения стороны основания и апофемы, получаем: l = √(18^2 - (40/2)^2) = √(324 - 400) = √(-76) - значение отрицательное, что означает, что пирамида с такими параметрами не существует.

Площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле: S = a^2 + 4 * (a * l) / 2

Подставляя значения стороны основания и бокового ребра, получаем: S = 18^2 + 4 * (18 * l) / 2 = 324 + 4 * (18 * l) / 2 = 324 + 36 * l

Объем: Объем правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле: V = (a^2 * h) / 3

Подставляя значения стороны основания и апофемы, получаем: V = (18^2 * h) / 3 = (324 * h) / 3 = 108 * h

3) Радиус основания цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 7 см, а его образующая - 11 см.

Площадь осевого сечения: Площадь осевого сечения цилиндра можно найти по формуле: S = π * r^2

Подставляя значение радиуса, получаем: S = π * 7^2 = 49π см^2

Площадь поверхности: Площадь поверхности цилиндра можно найти по формуле: S = 2πrh + 2πr^2

Подставляя значения радиуса и образующей, получаем: S = 2π * 7 * 11 + 2π * 7^2 = 154π + 98π = 252π см^2

Объем: Объем цилиндра можно найти по формуле: V = π * r^2 * h

Подставляя значения радиуса и образующей, получаем: V = π * 7^2 * 11 = 49π * 11 = 539π см^3

4) Прямоугольник, вращающийся около меньшей стороны

Прямоугольник, стороны которого равны 12 см и 15 см, вращается около меньшей стороны.

Площадь поверхности тела вращения: Площадь поверхности тела вращения можно найти с помощью формулы: S = 2πrh

где r - радиус окружности, h - высота тела вращения.

В данном случае, меньшая сторона прямоугольника (12 см) является высотой тела вращения, а большая сторона (15 см) - радиусом окружности.

Подставляя значения радиуса и высоты, получаем: S = 2π * 15 * 12 = 360π см^2

5) Образующая конуса

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов, а его высота равна 15 см.

Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле: S = π * r * l

где r - радиус основания, l - образующая.

В данном случае, образующая конуса (l) и высота (h) образуют прямоугольный треугольник, где образующая - гипотенуза, а высота - катет.

Используя тригонометрические соотношения, можно найти радиус основания (r): r = h / tan(α)

где α - угол между образующей и плоскостью основания.

Подставляя значения высоты и угла, получаем: r = 15 / tan(