Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=2x^2−1. срочно, пожалуйста!!!

Answer 1

$y_1 = x^2$

$y_2 = 2\cdot x^2 -1$

Найдем точки пересечения графиков функций.

$y_1(x) = y_2(x)$

$x^2 = 2\cdot x^2 - 1$

$1 = x^2$

$x = \pm\sqrt{1} = \pm 1$

Найдем искомую площадь.

$S = \int_{-1}^1 ( y_1(x) - y_2(x))\, dx =$

$= \int_{-1}^1 (x^2 - (2x^2 - 1))\, dx =$

$= \int_{-1}^1 (1 - x^2)\, dx =$

$= (x - \frac{x^3}{3})|_{-1}^1 = 1 - \frac{1}{3} - ( -1 + \frac{1}{3}) =$

$= 1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6-2}{3} =$

$= \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = 2x^2 - 1, нужно найти точки их пересечения и вычислить интеграл площади между этими кривыми на заданном интервале.

Сначала найдем точки пересечения:

Приравниваем уравнения: x^2 = 2x^2 - 1. Получаем: x^2 = 1, откуда x = ±1.

Теперь интегрируем разность верхней кривой (y = 2x^2 - 1) и нижней кривой (y = x^2) от -1 до 1, чтобы найти площадь между ними:

Площадь = ∫[от -1 до 1] (2x^2 - 1 - x^2) dx = ∫[от -1 до 1] (x^2 - 1) dx = [x^3/3 - x] от -1 до 1 = (1/3 - 1) - (-1/3 + 1) = -2/3 + 2/3 = 0.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = 2x^2 - 1, равна нулю.