Question

Через точку пересечения диагоналей квадрата АВСД – точку О, проведен к его плоскости перпендикуляр ОК, равный 16 см. Вычислите расстояние от точки К до вершин квадрата, если АВ=12√2 см. Точка К удалена от каждой вершины прямоугольника на 17 см. Вычислите расстояние от К до плоскости прямоугольника, если его стороны равны 9 см и 5√7 см. Через центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника с углом 30º, проведен к его плоскости перпендикуляр ОК, равный 6 см. Конец перпендикуляра К, лежащий вне плоскости треугольника, удален от большего катета на 10 см. Вычислите расстояние от К до вершин треугольника, периметр и площадь этого треугольника и длину окружности, описанной около этого треугольника. Диагонали ромба равны 12 и 16 дм. Точка М удалена от каждой его стороны на 8 дм. Вычислите расстояние от точки М до плоскости ромба. Основания трапеции пропорциональны числам 3 и 4, ее высота равна 14 см. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведен к ее плоскости перпендикуляр, равный 8 см. Вычислите расстояние от концов перпендикуляра до оснований трапеции. Точка М находится на расстоянии 10 см от вершин равностороннего треугольника. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости треугольника, если его сторона равна 8√3 см. Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр, равный 12 см и две наклонные. Вычислите длины их проекций на данную плоскость, если угол между плоскостью и каждой наклонной равен соответственно 45º и 60º. К плоскости квадрата АВСД проведен перпендикуляр ОК, О – точка пересечения диагоналей квадрата. Вычислите угол между плоскостью квадрата и прямыми КА, КВ, КС и КД, если АВ=8см, КО=4√2см. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 280 см, высота его – 10 см. Стороны основания параллелепипеда пропорциональны числам 3 и 4. Вычислите: а) угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания; б) углы между диагональю параллелепипеда и боковыми гранями.

Answer 1

Расстояние от точки К до вершин квадрата одинаковое и  и вычисляется по теореме Пифагора КА² = АО² + ОК²,
 где АО =1/2 АС,
а АС = АВ*√2 = 12√2 *√2 12*2 = 24, значит ,
 АО = 24:2 = 12, 
КА² = 12² + 16²
КА² = 144 +256 
КА² =400
КА = 20

Answer 2

Task 1: Finding the distance from point K to the vertices of a square

To find the distance from point K to the vertices of the square, we need to consider the properties of the square and the given information.

Given: - The square ABCD has diagonals that intersect at point O. - The perpendicular from point O to the plane of the square is OK, which is equal to 16 cm. - The length of AB is 12√2 cm. - Point K is 17 cm away from each vertex of the square.

To find the distance from point K to the vertices of the square, we can use the Pythagorean theorem.

Let's calculate the distance from point K to the vertices of the square:

1. Distance from K to A: - We can consider the right triangle OKA, where OK is the hypotenuse and KA is one of the legs. - Using the Pythagorean theorem, we can calculate KA: KA = √(OK^2 - OA^2) - Substituting the given values: KA = √(16^2 - (12√2)^2) - Simplifying the equation: KA = √(256 - 288) KA = √(-32) KA is not a real number, so there is no distance from K to A.

2. Distance from K to B: - We can consider the right triangle OKB, where OK is the hypotenuse and KB is one of the legs. - Using the Pythagorean theorem, we can calculate KB: KB = √(OK^2 - OB^2) - Substituting the given values: KB = √(16^2 - (12√2)^2) - Simplifying the equation: KB = √(256 - 288) KB = √(-32) KB is not a real number, so there is no distance from K to B.

3. Distance from K to C: - We can consider the right triangle OKC, where OK is the hypotenuse and KC is one of the legs. - Using the Pythagorean theorem, we can calculate KC: KC = √(OK^2 - OC^2) - Substituting the given values: KC = √(16^2 - (12√2)^2) - Simplifying the equation: KC = √(256 - 288) KC = √(-32) KC is not a real number, so there is no distance from K to C.

4. Distance from K to D: - We can consider the right triangle OKD, where OK is the hypotenuse and KD is one of the legs. - Using the Pythagorean theorem, we can calculate KD: KD = √(OK^2 - OD^2) - Substituting the given values: KD = √(16^2 - (12√2)^2) - Simplifying the equation: KD = √(256 - 288) KD = √(-32) KD is not a real number, so there is no distance from K to D.

Therefore, there is no distance from point K to any of the vertices of the square ABCD.