Question

Решите уравнение:arcctgx=arcsinx​

Answer 1

$\mathrm{arcctg}\, x=\arcsin x$

Определим ОДЗ. Арккотангенс определен для любых чисел, а арксинус - только для чисел из отрезка $[-1;\ 1]$. Таким образом:

$x\in[-1;\ 1]$

Найдем синус левой и правой части:

$\sin(\mathrm{arcctg}\, x)=\sin(\arcsin x)$

$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2} }=x$

Рассмотрим левую часть уравнения. В числителе записано положительное число, в знаменателе стоит квадратный корень, который может принимать только положительные значения. Таким образом, левая часть уравнения положительна, а значит и правая часть уравнения должна быть положительна:

$x>0$

Учитывая это, возводим в квадрат обе части уравнения:

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2} }\right)^2=x^2$

$\dfrac{1}{1+x^2 }=x^2$

$x^2(1+x^2)=1$

$x^4+x^2-1=0$

$D=1-4\cdot1\cdot(-1)=5$

$x^2=\dfrac{-1\pm\sqrt{5} }{2}$

Заметим, что одно из уравнений, а именно $x^2=\dfrac{-1-\sqrt{5} }{2}$, не имеет корней, так как квадрат числа не может принимать отрицательных значений.

Рассматриваем другое уравнение:

$x^2=\dfrac{\sqrt{5}-1 }{2}$

$x=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1 }{2}}$

Вновь заметим, что один из найденных корней не соответствует ранее записанному ограничению $x>0$.

Значит, единственный корень уравнения:

$x=\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1 }{2}}$

Убедится, что он отвечает требованиям ОДЗ, можно с помощью следующих рассуждений:

$1=\sqrt{1}$

$0$

$0$

$0$

Ответ: $\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1 }{2}}$

Answer 2

Для решения уравнения arcctgx = arcsinx, нам нужно найти значения, которые удовлетворяют этому равенству.

Первым шагом является применение тригонометрических свойств и преобразование обеих частей уравнения. Для этого мы можем использовать следующие свойства:

1. arcctgx(x) = arctan(1/x) 2. arcsinx(x) = arctan(x/√(1-x^2))

Применяя эти свойства, мы можем переписать уравнение в следующем виде:

arctan(1/x) = arctan(x/√(1-x^2))

Теперь мы можем применить тангенс к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от арктангенсов:

1/x = x/√(1-x^2)

Теперь мы можем решить это уравнение. Для этого мы умножаем обе стороны на x и √(1-x^2), чтобы избавиться от знаменателей:

√(1-x^2) = x^2

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат:

1 - x^2 = x^4

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

x^4 + x^2 - 1 = 0

Это уравнение можно решить с помощью различных методов, например, подстановкой или использованием формулы для решения квадратных уравнений. Однако, в данном случае, уравнение имеет сложный вид, и его решение с помощью элементарных методов может быть трудоемким.

Но мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы приближенно найти корни уравнения. Эти методы позволяют найти численные значения x, которые удовлетворяют уравнению.

Окончательное решение уравнения x^4 + x^2 - 1 = 0 требует использования численных методов для нахождения численных значений x, которые удовлетворяют уравнению. Мы можем использовать программное обеспечение, такое как математические пакеты или языки программирования, для вычисления корней этого уравнения.