Question

Решить дифференциальное уравнение второго порядка y''-y'-2y=0 Даю 40 балов

Answer 1

Пусть $y=e^{ax}$, тогда получим характеристическое уравнение

$a^2-a-2=0$ корни которого являются $a=2$ и $a=-1$

Выполняя обратную замену, получим общее решение ДУ

$y=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит следующим образом: y'' - y' - 2y = 0, где y'' обозначает вторую производную функции y по переменной x, а y' и y обозначают первую производную и саму функцию соответственно.

Чтобы решить это уравнение, можно использовать метод характеристического уравнения. Для этого предположим, что y имеет вид y = e^(rx), где r - неизвестная константа. Подставим это предположение в исходное уравнение:

y'' - y' - 2y = 0 (e^(rx))'' - (e^(rx))' - 2e^(rx) = 0

Теперь найдем производные e^(rx):

r^2e^(rx) - re^(rx) - 2e^(rx) = 0

Факторизуем уравнение, выделив общий множитель e^(rx):

e^(rx)(r^2 - r - 2) = 0

Теперь решим квадратное уравнение r^2 - r - 2 = 0. Можно использовать методы факторизации или квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта. Формула дискриминанта имеет вид:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a, b и c - коэффициенты в уравнении r^2 - r - 2 = 0. В данном случае a = 1, b = -1 и c = -2. Подставим значения в формулу:

r = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(1)(-2))) / (2(1)) r = (1 ± √(1 + 8)) / 2 r = (1 ± √9) / 2 r = (1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два значения для r: r1 = 2 и r2 = -1/2.

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения, используя найденные значения r:

y = C1e^(2x) + C2e^(-x/2),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Пример кода:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 10, 100)
y = C1 * np.exp(2*x) + C2 * np.exp(-x/2)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Solution of the second-order differential equation')
plt.grid(True)
plt.show()

В данном примере использовался язык программирования Python с использованием библиотеки NumPy для работы с массивами и функцией экспоненты, а также библиотеки Matplotlib для построения графика. Постоянные C1 и C2 могут быть выбраны произвольно, чтобы получить конкретное решение данного уравнения. На графике представлена общая форма решения, где x находится в диапазоне от 0 до 10.