Question

Решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка y"+9y=0 при y=1; y' = - 6; x= π/3

Answer 1

Составляем характеристическое уравнение. t² + 9 =0
t² = -9
t = -3i; t = 3i
Решение: е ^ х (C1cos3x+C2sin3x)

Answer 2

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка y'' + 9y = 0, нам необходимо найти общее решение этого уравнения.

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид λ^2 + 9 = 0.

Решим это уравнение. Для этого приведем его к каноническому виду (λ - λ_1)(λ - λ_2) = 0, где λ_1 и λ_2 - корни характеристического уравнения.

λ^2 + 9 = 0 (λ + 3i)(λ - 3i) = 0

Таким образом, корни характеристического уравнения равны λ_1 = 3i и λ_2 = -3i.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид y(x) = C1*cos(3x) + C2*sin(3x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь, чтобы найти частное решение данного уравнения при y = 1 и y' = -6 при x = π/3, подставим эти значения в общее решение.

y(π/3) = C1*cos(3(π/3)) + C2*sin(3(π/3)) = C1*cos(π) + C2*sin(π) = C1*(-1) + C2*0 = -C1 = 1

Отсюда получаем, что C1 = -1.

y'(x) = -3C1*sin(3x) + 3C2*cos(3x)

y'(π/3) = -3C1*sin(3(π/3)) + 3C2*cos(3(π/3)) = -3C1*sin(π) + 3C2*cos(π) = -3C1*0 + 3C2*(-1) = -3C2 = -6

Отсюда получаем, что C2 = -2.

Таким образом, найдено частное решение данного дифференциального уравнения при y = 1, y' = -6 и x = π/3.

Итак, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y'' + 9y = 0 имеет вид y(x) = -cos(3x) - 2sin(3x).

Надеюсь, я смог помочь! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.

Answer 3

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка вида y'' + 9y = 0, при начальных условиях y(π/3) = 1 и y'(π/3) = -6, мы можем использовать методы решения дифференциальных уравнений.

Нахождение общего решения

Для начала, найдем общее решение дифференциального уравнения y'' + 9y = 0. Характеристическое уравнение для этого дифференциального уравнения имеет вид r^2 + 9 = 0. Решим это уравнение для нахождения корней r:

r^2 + 9 = 0 r^2 = -9 r = ±3i

Таким образом, у нас есть два комплексных корня: r₁ = 3i и r₂ = -3i. Общее решение будет иметь вид:

y(x) = c₁*cos(3x) + c₂*sin(3x)

где c₁ и c₂ - произвольные постоянные.

Нахождение частного решения с учетом начальных условий

Теперь, используя начальные условия y(π/3) = 1 и y'(π/3) = -6, мы можем найти частное решение этого уравнения.

1. Найдем y(π/3): y(π/3) = c₁*cos(π) + c₂*sin(π) = -c₁ = 1 c₁ = -1

2. Теперь найдем y'(x):

y'(x) = -3c₁*sin(3x) + 3c₂*cos(3x)

3. Найдем y'(π/3):

y'(π/3) = -3c₁*sin(π) + 3c₂*cos(π) = 3c₂ = -6 c₂ = -2

Таким образом, мы получаем частное решение:

y(x) = -cos(3x) - 2sin(3x)

Итак, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка y'' + 9y = 0 при начальных условиях y(π/3) = 1 и y'(π/3) = -6:

Общее решение: y(x) = -cos(3x) - 2sin(3x) + c₁*cos(3x) + c₂*sin(3x)

где c₁ и c₂ - произвольные постоянные.