Question

Помогите пж очень срочно решить . решить дифференциальное уравнение второго порядка у"+4у=0

Answer 1

Ответ:

$y=C_{1}cos2x+C_{2}sin2x; C_{1},C_{2} - const;$

Объяснение:

Составим характеристическое уравнение. Для этого вместо

$y''$

запишем $\lambda^{2}$, выражение 4у преобразуется в 4:

$\lambda^{2}+4=0;$

$\lambda^{2}=-4;$

$\lambda_{1}=\sqrt{-4}=\sqrt{-1*4}=\sqrt{-1}*\sqrt{2^{2}}=2i;$

$\lambda_{2}=\sqrt{-4}=\sqrt{-1*4}=\sqrt{-1}*\sqrt{(-2)^{2}}=-2i;$

Имеем два комплексно сопряжённых корня, значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

$y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x); C_{1},C_{2} - const;$

Подставим вместо альфа 0, вместо бета: 2 и -2.

$y=e^{0*x}(C_{1}cos2x+C_{2}sin2x)=C_{1}cos2x+C_{2}sin2x; C_{1},C_{2} - const;$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам решить это дифференциальное уравнение второго порядка. Уравнение у"+4у=0 - это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Чтобы найти общее решение этого уравнения, предположим, что у нас есть решение вида y = e^(rx), где r - это неизвестная константа, которую мы должны найти. Тогда мы можем продифференцировать y дважды:

y' = re^(rx) y'' = r^2e^(rx)

Теперь мы можем подставить эти значения обратно в уравнение:

r^2e^(rx) + 4e^(rx) = 0

Теперь мы можем вынести e^(rx) как общий множитель:

e^(rx) * (r^2 + 4) = 0

Так как e^(rx) никогда не равно нулю, мы можем проигнорировать его и сконцентрироваться на скобке (r^2 + 4) = 0:

r^2 + 4 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно r:

r^2 = -4

r = ±√(-4)

Заметьте, что здесь появляется комплексное число вида ±2i, где i - это мнимая единица (i^2 = -1). Таким образом, у нас есть два корня:

r1 = 2i r2 = -2i

Теперь мы можем записать общее решение уравнения:

y = c1e^(2ix) + c2e^(-2ix)

Где c1 и c2 - произвольные постоянные. Чтобы получить более конкретное выражение, вы можете воспользоваться тождеством Эйлера:

e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

Теперь мы можем переписать общее решение с использованием тождества Эйлера:

y = c1(cos(2x) + isin(2x)) + c2(cos(-2x) + isin(-2x))

Теперь вы можете разделить решение на действительную и мнимую части:

y = (c1cos(2x) + c2cos(-2x)) + i(c1sin(2x) - c2sin(-2x))

Действительная и мнимая части представляют собой два независимых решения, и общее решение вашего уравнения будет комбинацией этих двух частей.