Question

1 задание. Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. х2 – 2x — 3 > 0; (х + 5)(х + 2)2(х – 11) < 0; х2 — 14х + 49 < 0; x2 + 16 > 0. 1) Неравенство не имеет решений; 2) Решением неравенства является вся числовая прямая; 3) Решением неравенства является одна точка; 4)Решением неравенства является закрытый промежуток; 5)Решением неравенства является открытый промежуток; 6)Решением неравенства является объединение двух промежутков.​

Answer 1

Ответ и Объяснение:

1. x²—2x—3>0 ⇔ x²—2x+1—4>0 ⇔ (x—1)²—2²>0 ⇔

⇔ (x—1—2)·(x—1+2)>0 ⇔ (x—3)·(x+1)>0 ⇔

⇔ ------- + --------------( -1 )------- – ----------( 3 )---------- + ------------->x

x∈(-∞; -1)∪(3; +∞)

Вывод:

6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.​

Применили формулу сокращённого умножения a²-b²=(a-b)·(a+b) и метод интервалов.

2. (x+5)·(x+2)²·(x-11)<0 ⇔

⇔ ------- + -------( -5 )------- – ------( -2 )-------- – --------( 11 )---- + ------>x

x∈(-5; -2)∪(-2; 11).

Применили метод интервалов и учли, что (x+2)² ≥ 0 и (x+2)² = 0 если x= -2.

Вывод:

6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.​

3. x² — 14·x + 49  < 0 ⇔ (x—7)² < 0, но (x—7)² ≥ 0 для любого x∈R.

Вывод:

1) Неравенство не имеет решений;

4. x² + 16 > 0 при всех x∈R ⇔ так как x² + 16 ≥ 16 >0.

Вывод:

2) Решением неравенства является вся числовая прямая;

#SPJ1

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по очереди:

1. \(x^2 - 2x - 3 > 0\) Это квадратное уравнение может быть факторизовано как \((x - 3)(x + 1) > 0\). Решим его графически с помощью метода интервалов. Мы видим, что корни этого уравнения равны \(x = 3\) и \(x = -1\). Теперь, используя тестовую точку в каждом из интервалов (например, \(x = 0\) для \((- \infty, -1)\), \(x = -2\) для \((-1, 3)\) и \(x = 4\) для \((3, +\infty)\)), мы можем определить знак выражения \((x - 3)(x + 1)\) в каждом интервале.

Таким образом, решение этого неравенства: \((- \infty, -1) \cup (3, +\infty)\). Ответ: 6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.

2. \((x + 5)(x + 2)^2(x - 11) < 0\)

Для начала, найдем корни этого уравнения: \(x = -5\), \(x = -2\) (кратный корень) и \(x = 11\). Используя метод интервалов и тестовые точки, мы можем определить знак выражения \((x + 5)(x + 2)^2(x - 11)\) в каждом интервале.

Таким образом, решение этого неравенства: \((-5, -2) \cup (11, +\infty)\). Ответ: 6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.

3. \(x^2 - 14x + 49 < 0\)

Это квадратное уравнение эквивалентно \((x - 7)^2 < 0\). Однако квадратный трехчлен не может быть отрицательным для любого рационального \(x\). Таким образом, выражение \((x - 7)^2\) всегда будет больше или равно нулю для любого \(x\).

Решение этого неравенства: нет решений. Ответ: 1) Неравенство не имеет решений.

4. \(x^2 + 16 > 0\)

Это неравенство квадратного трехчлена. Поскольку \(x^2\) всегда неотрицательно для любого \(x\), а добавление положительного числа 16 только увеличивает это значение, то \(x^2 + 16\) всегда будет больше нуля.

Решение этого неравенства: все реальные числа. Ответ: 2) Решением неравенства является вся числовая прямая.

Итак, выводы для каждого неравенства: 1) Решением неравенства \(x^2 - 2x - 3 > 0\) является объединение двух промежутков. 2) Решением неравенства \((x + 5)(x + 2)^2(x - 11) < 0\) также является объединение двух промежутков. 3) Неравенство \(x^2 - 14x + 49 < 0\) не имеет решений. 4) Решением неравенства \(x^2 + 16 > 0\) является вся числовая прямая.