Question

Y=2x²+7x+1 Построить график функции и исследовать его. Пожалуйста сделайте подробней.

Answer 1

$y=2x^2+7x+1$

1. Область определения

x є (-∞;+∞).

2. Четность функции

Функция не тригонометрическая - периодичность не находим.

$y(-x)=2(-x)^{2} +7(-x)^{2} +1=9x^2+1.\\y(-x)\neq y(x)\\y(-x)\neq -y(x)$

Функция ни четная, ни нечетная.

3. Точки пересечения с осями координат

Найдем точки пересечения с осью ординат Oy, поэтому приравниваем x к 0:

$y=2*0^2+7*0+1=1.$

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0; 1).

Найдем точки пересечения с осью абсцисс Ox, для этого приравниваем y к 0:

$0=2x^2+7x+1$

$D=b^2-4ac=7^2-4*2*1=49-8=41.\\x_{1} =\frac{-7-\sqrt{41} }{4} \\x_{2} =\frac{-7+\sqrt{41} }{4}$

Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты:

($\frac{-7-\sqrt{41} }{4}$; 0), или ($\frac{-7+\sqrt{41} }{4}$;0).

4. Производная функции и критические точки

$y=(2x^2)'+(7x)'+(1)'=4x+7\\4x+7=0\\x=-\frac{7}{4} =-1,75.$

x = -1,75 - это критическая точка.

5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции

       _                                +                  

--------------------(-1,75)--------------------

      f'(x)<0               f'(x)>0    

     убывает           возрастает

В окрестности точки x = -7/4 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = -7/4 - точка локального минимума.  

$y(-\frac{7}{4} )=2*(-\frac{7}{4})^2+7(-\frac{7}{4})+1=-5,185.$

Значит, точка минимума: (-1,75;-5,185).

6. Поведение функции на концах промежутков области опред.

Поскольку у нас область определения x є (-∞;+∞), исследование невозможно.

   

Answer 2

Конечно, давай разберемся с этим поэтапно.

У нас есть квадратное уравнение \(Y = 2x^2 + 7x + 1\). Для построения графика этой функции мы можем использовать несколько шагов:

1. Найти вершину параболы:

Вершина параболы имеет координаты \((-b/2a, f(-b/2a))\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты квадратного уравнения \(Y = ax^2 + bx + c\).

Для уравнения \(Y = 2x^2 + 7x + 1\) коэффициенты \(a = 2\) и \(b = 7\). Используя формулу, можно найти вершину: \[x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot 2} = -\frac{7}{4}\]

Теперь найдем \(Y\) при \(x = -\frac{7}{4}\): \[Y = 2 \cdot \left(-\frac{7}{4}\right)^2 + 7 \cdot \left(-\frac{7}{4}\right) + 1\]

2. Найти ось симметрии:

Ось симметрии параболы проходит через вершину и параллельна оси \(x\).

3. Найти точки пересечения с осями координат:

Чтобы найти точки пересечения с осью \(Y\) (горизонтальной осью), установим \(Y = 0\) и решим уравнение \(2x^2 + 7x + 1 = 0\) для \(x\). Также найдем точку пересечения с осью \(X\) (вертикальной осью), когда \(x = 0\).

4. Определить направление и выпуклость параболы:

Коэффициент \(a\) определяет направление и выпуклость параболы. Если \(a > 0\), парабола направлена вверх (выпуклая вверх), если \(a < 0\), парабола направлена вниз (выпуклая вниз).

Теперь, когда мы найдем все эти значения, сможем построить график функции \(Y = 2x^2 + 7x + 1\) с учетом этих характеристик.

Давай начнем с вычисления значений, а затем перейдем к построению графика.