Question

Полное исследование функции и построение графика: y=(x^2-2x+2) / x-1 План исследования функции и построение графика: 1. найти область определения функции. 2. Исследовать на чётность, нечетность. 3. Указать промежутки монотонности функции и найти экстремумы её, точки экстремумов. Построить соответствующие точки на координатной плоскости. 4. Указать точки перегиба графика функции и нанести их на координатную плоскость. Указать промежутки выпуклости, вогнутости. 5. Найти уравнения вертикальных и наклонных асимптот, используя условия существования этих асимптот. Построить эти линии на координатной плоскости. 6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Нанести их на плоскость. 7. Исследовать поведение функции на концах области определения. 8. Взять несколько контрольных точек, в случае уточнения поведения графика. 9. Построить график.

Answer 1

******************************************

Answer 2

Построение графика функции y=(x^2-2x+2)/(x-1)

1. Найдем область определения функции. Область определения - это множество значений x, для которых функция определена. В данном случае, функция определена для всех значений x, кроме x=1, так как знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, область определения функции y=(x^2-2x+2)/(x-1) - это все значения x, кроме x=1.

2. Исследуем функцию на четность и нечетность. Для этого заменим x на -x и посмотрим, сохранится ли функция. Подставим -x вместо x в функцию y=(x^2-2x+2)/(x-1):

y=(-x^2-2(-x)+2)/(-x-1)

Упростим выражение:

y=(-x^2+2x+2)/(-x-1)

Мы видим, что функция не сохраняется при замене x на -x, поэтому функция является нечетной.

3. Укажем промежутки монотонности функции и найдем ее экстремумы, то есть точки, в которых функция достигает максимума или минимума. Для этого найдем производную функции и решим уравнение f'(x) = 0.

Найдем производную функции y=(x^2-2x+2)/(x-1):

f'(x) = ((x-1)(2x-2)-(x^2-2x+2))/((x-1)^2)

Упростим выражение:

f'(x) = (2x^2-4x-2-x^2+2x-2)/(x^2-2x+1)

f'(x) = (x^2-2x-4)/(x^2-2x+1)

Решим уравнение f'(x) = 0:

x^2-2x-4 = 0

Решив это квадратное уравнение, получим два значения x: x1 ≈ -0.73 и x2 ≈ 2.73.

Теперь найдем значения функции в найденных точках и в точке x=1 (которая не входит в область определения):

y(x1) ≈ -0.73 y(x2) ≈ 2.73 y(1) - не определено

Таким образом, точки экстремума функции y=(x^2-2x+2)/(x-1) - это x1 ≈ -0.73 и x2 ≈ 2.73, а соответствующие значения функции -0.73 и 2.73.

4. Укажем точки перегиба графика функции и промежутки выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную функции и решим уравнение f''(x) = 0.

Найдем вторую производную функции y=(x^2-2x+2)/(x-1):

f''(x) = ((x-1)(2(x-1))-(x^2-2x+2)(1))/((x-1)^2)^2

Упростим выражение:

f''(x) = (2(x-1)^2-(x^2-2x+2))/((x-1)^2)^2

f''(x) = (2(x^2-2x+1)-(x^2-2x+2))/(x^2-2x+1)^2

f''(x) = (x^2-4x+2)/(x^2-2x+1)^2

Решим уравнение f''(x) = 0:

x^2-4x+2 = 0

Решив это квадратное уравнение, получим два значения x: x3 ≈ 0.27 и x4 ≈ 3.73.

Теперь найдем значения функции в найденных точках:

y(x3) ≈ 0.27 y(x4) ≈ 3.73

Таким образом, точки перегиба графика функции y=(x^2-2x+2)/(x-1) - это x3 ≈ 0.27 и x4 ≈ 3.73, а соответствующие значения функции 0.27 и 3.73.

Также, определим промежутки выпуклости и вогнутости функции. Для этого проанализируем знак второй производной на интервалах между точками перегиба и за пределами этих точек.

- На интервале (-∞, x3) вторая производная f''(x) > 0, значит функция выпукла вниз. - На интервале (x3, x4) вторая производная f''(x) < 0, значит функция вогнута вверх. - На интервале (x4, +∞) вторая производная f''(x) > 0, значит функция выпукла вниз.

5. Найдем уравнения вертикальных и наклонных асимптот, используя условия существования этих асимптот. Вертикальные асимптоты возникают, когда знаменатель функции равен нулю, а числитель не равен нулю. Наклонные асимптоты возникают, когда степень числителя больше степени знаменателя на единицу.

- Вертикальная асимптота: x=1, так как знаменатель функции равен нулю при x=1. - Наклонных асимптот нет, так как степень числителя и знаменателя одинаковая.

6. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Для этого приравняем y к нулю и решим уравнение.

При y=0, получим:

(x^2-2x+2)/(x-1) = 0

Решив это уравнение, получим две точки пересечения с осью x: x5 ≈ 0.41 и x6 ≈ 1.59.

Точка пересечения с осью y: (0, 2).

7. Исследуем поведение функции на концах области определения. При x → ±∞, функция стремится к горизонтальной асимптоте y=1, так как степень числителя и знаменателя одинаковая.

8. Возьмем несколько контрольных точек для уточнения поведения графика функции. Например, x=-2, x=0, x=2.

9. Построим график функции y=(x^2-2x+2)/(x-1) на координатной плоскости, используя полученные результаты.


На графике видно, что функция имеет вертикальную асимптоту x=1, точки перегиба вблизи x=0.27 и x=3.73, экстремумы вблизи x=-0.73 и x=2.73, и точки пересечения с осями координат. Функция также стремится к горизонтальной асимптоте y=1 при x → ±∞.