Question

Пж помогите Попробуйте решить без больших вычислений докажите что 47^31 + 27^62 кратно 97

Answer 1

$27^{62} = 729^{31}$

$47 \mod 97 = 47\\729 \mod 97 = 50$

$(47 + 729) \mod 97 = 0$

Заметим, что т.к. степень нечётна, можно разложить нашу сумму как

$47^{31} + 729^{31} = (47 + 729)(47^{30} - 47^{29}729 + 47^{28}729^2 - \ldots - 47\cdot729^{29} + 729^{30})$

И так как $(47+729)$ делится на 97, то и $(47^n + 729^n)$ делится на 97 при нечётном $n$, в нашем случае $n = 31$

Answer 2

Для доказательства, что число 47^31 + 27^62 кратно 97, можно воспользоваться малой теоремой Ферма.

Малая теорема Ферма утверждает, что если p - простое число, а a - целое число, не кратное p, то a^(p-1) - 1 кратно p.

В данном случае, мы имеем число 47^31 + 27^62, и нам нужно проверить, кратно ли оно 97.

Применение малой теоремы Ферма:

1. Разложим 97 - 1 на простые множители: 97 - 1 = 2 * 48.

2. Проверим, являются ли числа 47 и 27 кратными 97. Если да, то доказательство будет завершено, так как сумма двух кратных чисел также будет кратна 97.

3. Если числа 47 и 27 не кратны 97, применим малую теорему Ферма для каждого из них.

- Для числа 47: - 47^(97-1) - 1 = 47^96 - 1 - По малой теореме Ферма, 47^96 - 1 кратно 97.

- Для числа 27: - 27^(97-1) - 1 = 27^96 - 1 - По малой теореме Ферма, 27^96 - 1 кратно 97.

4. Таким образом, оба числа 47^31 и 27^62 кратны 97, и их сумма также будет кратна 97.

Вывод: Число 47^31 + 27^62 кратно 97.