Question

Знайдіть екстремуми функцій 1)f(x)=1/3x^3-x 2)f(x)=x^3/3+3x^2-7x+4

Answer 1

1)

$f(x) = \frac{1}{3} {x}^{3} - x \\ f'(x) = \frac{1}{3} \times 3 {x}^{3 - 1} - 1 = \\ {x}^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1) \\ (x - 1)(x + 1) = 0 \\ x _{max} = - 1 \\ x _{min} = 1$

2)

$f(x) = \frac{ {x}^{3} }{3} + 3 {x}^{2} - 7x + 4 \\ f'(x) = \frac{1}{3} \times 3x {}^{3 - 1} + 3 \times 2 x {}^{2 - 1} - 7 = \\ {x}^{2} + 6 {x}^{} - 7 = (x - 1)(x + 7) \\ (x - 1)(x + 7) = 0 \\ x _{max} = - 7 \\ x _{min} = 1$

Answer 2

Для пошуку екстремумів функцій спочатку знайдемо похідну цих функцій і прирівняємо їх до нуля.

1) f(x) = (1/3)x^3 - x + 2

Похідна функції f(x) буде: f'(x) = (1/3)(3x^2) - 1 = x^2 - 1

Прирівнюємо похідну до нуля: x^2 - 1 = 0

Розв'язуючи це рівняння, отримаємо два розв'язки: x^2 = 1 x = ±1

Тепер підставимо ці значення x у вихідну функцію, щоб знайти відповідні значення y: f(1) = (1/3)(1^3) - 1 + 2 = 2/3 f(-1) = (1/3)(-1^3) - (-1) + 2 = 8/3

Отже, маємо дві точки екстремуму: (1, 2/3) та (-1, 8/3).

2) f(x) = (1/3)x^3 + 3x^2 - 7x + 4

Похідна функції f(x) буде: f'(x) = (1/3)(3x^2) + 2(3x) - 7 = x^2 + 6x - 7

Прирівнюємо похідну до нуля: x^2 + 6x - 7 = 0

Розв'язуючи це рівняння, отримаємо два розв'язки: (x + 7)(x - 1) = 0 x = -7 або x = 1

Тепер підставимо ці значення x у вихідну функцію, щоб знайти відповідні значення y: f(-7) = (1/3)(-7^3) + 3(-7)^2 - 7(-7) + 4 = -106/3 f(1) = (1/3)(1^3) + 3(1)^2 - 7(1) + 4 = 1/3

Отже, маємо дві точки екстремуму: (-7, -106/3) та (1, 1/3).