Question

Завдання для самостійної роботи №01 Функцію задано формулою f (x) = -2x² + 5x 1) Знайдіть: f (1); f (0); f (1/2); f (-5). 2) Знайдіть значення аргументу, при яких значення функції дорівнює: 0; 2; -3. №02 Знайдіть область визначення функції: 1) y = 1/x+3. 2) y =√x-5. 3) y= 1/√-х²+2х 4) у=√1-х²/х №03 Знайдіть нулі, проміжки знакосталості і побудуйте графіки функцій: 1) y = 1 - 3x; 2) y = 3 - 2x - x² ; 3) y = -1/х + 1.№04 Користуючись графіками, знайдіть проміжки зростання (спадання) область значень функцій: 1) y = 1 - 3x; 2) y = 3 - 2x - x² ; 3) y = -1/х +1​

Answer 1

Ответ:

№01

   Знайдіть значення функції для заданих аргументів:

   f(1) = -2(1)² + 5(1) = -2 + 5 = 3

   f(0) = -2(0)² + 5(0) = 0

   f(1/2) = -2(1/2)² + 5(1/2) = -1/2 + 5/2 = 2

   f(-5) = -2(-5)² + 5(-5) = -50 - 25 = -75

   Знайдіть значення аргументу, при яких значення функції дорівнює:

   f(x) = 0: -2x² + 5x = 0

   Розв'язок цього квадратного рівняння можна знайти за допомогою дискримінанту:

   D = (5)² - 4(-2)(0) = 25

   x₁ = (-5 + √25) / (2*(-2)) = (5 + 5) / (-4) = -10/4 = -5/2

   x₂ = (-5 - √25) / (2*(-2)) = (5 - 5) / (-4) = 0

   Отже, f(x) = 0 при x = -5/2 та x = 0.

   f(x) = 2: -2x² + 5x = 2

   -2x² + 5x - 2 = 0

   Використовуючи квадратне рівняння, ми можемо знайти рішення:

   D = (5)² - 4(-2)(-2) = 25 - 16 = 9

   x₁ = (-5 + √9) / (2*(-2)) = (5 + 3) / (-4) = -8/4 = -2

   x₂ = (-5 - √9) / (2*(-2)) = (5 - 3) / (-4) = 2/4 = 1/2

   Отже, f(x) = 2 при x = -2 та x = 1/2.

   f(x) = -3: -2x² + 5x = -3

   -2x² + 5x + 3 = 0

   Розв'язок цього квадратного рівняння також можна знайти за допомогою дискримінанту:

   D = (5)² - 4(-2)(3) = 25 + 24 = 49

   x₁ = (-5 + √49) / (2*(-2)) = (5 + 7) / (-4) = 12/(-4) = -3

   x₂ = (-5 - √49) / (2*(-2)) = (5 - 7) / (-4) = -2/(-4) = 1/2

   Отже, f(x) = -3 при x = -3 та x = 1/2.

№02

   Область визначення функції y = 1/(x + 3) - усі значення x, за винятком x = -3, оскільки в знаменнику не може бути нуля.

   Область визначення функції y = √(x - 5) - значення x повинно бути більше або дорівнювати 5, тобто x ≥ 5.

   Область визначення функції y = 1/√(-x² + 2x) - функція визначена лише для тих значень x, для яких вираз під коренем є не від'ємним (тобто x² - 2x ≥ 0). Розв'яжемо нерівність:

   x² - 2x ≥ 0

   x(x - 2) ≥ 0

   x ≥ 0 або x - 2 ≥ 0

   x ≥ 0 або x ≥ 2

   Отже, область визначення - x ≥ 2.

   Область визначення функції y = √(1 - x²)/x - функція визначена лише для тих значень x, для яких вираз під коренем є не від'ємним (тобто 1 - x² ≥ 0) та x не може дорівнювати нулю (бо в знаменнику не може бути нуля). Розв'яжемо нерівність:

   1 - x² ≥ 0

   1 ≥ x²

   |x| ≤ 1

   Отже, область визначення - -1 ≤ x ≤ 1 (усі значення x включно між -1 і 1, окрім 0).

№03

   Знайдемо нулі функції y = 1 - 3x:

   1 - 3x = 0

   -3x = -1

   x = 1/3

   Проміжок знакосталості: Функція спадає, коли x < 1/3, і функція зростає, коли x > 1/3.

   Графік функції:

   |

   | *

   | *

   | *

   | *

   |__________________

   x

   Знайдемо нулі функції y = 3 - 2x - x²:

   3 - 2x - x² = 0

   -x² - 2x + 3 = 0

   x² + 2x - 3 = 0

   (x + 3)(x - 1) = 0

   x₁ = -3

   x

Объяснение:

Answer 2

Завдання 1: Знаходження значень функції

Функцію задано формулою f(x) = -2x² + 5x + 1. Знайдемо значення функції для заданих значень аргументу.

1) Для x = 1: Підставляємо x = 1 у формулу f(x): f(1) = -2(1)² + 5(1) + 1 = -2 + 5 + 1 = 4

Таким чином, f(1) = 4.

2) Для x = 0: Підставляємо x = 0 у формулу f(x): f(0) = -2(0)² + 5(0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Таким чином, f(0) = 1.

3) Для x = 1/2: Підставляємо x = 1/2 у формулу f(x): f(1/2) = -2(1/2)² + 5(1/2) + 1 = -2(1/4) + 5/2 + 1 = -1/2 + 5/2 + 1 = 3

Таким чином, f(1/2) = 3.

4) Для x = -5: Підставляємо x = -5 у формулу f(x): f(-5) = -2(-5)² + 5(-5) + 1 = -2(25) - 25 + 1 = -50 - 25 + 1 = -74

Таким чином, f(-5) = -74.

Завдання 2: Знаходження значень аргументу

Знайдемо значення аргументу, при яких значення функції дорівнює заданим значенням.

1) Значення функції дорівнює 0: Підставимо f(x) = 0 у формулу f(x) = -2x² + 5x + 1 і розв'яжемо рівняння: -2x² + 5x + 1 = 0

Щоб розв'язати це рівняння, можна скористатись квадратними рівняннями або факторизацією. Давайте скористаємось факторизацією: -2x² + 5x + 1 = 0 (-2x - 1)(x - 1) = 0

З отриманого рівняння ми бачимо два множники, які, якщо рівні нулю, дадуть нам значення аргументу, при яких функція дорівнює 0: -2x - 1 = 0 або x - 1 = 0

Розв'язуємо ці рівняння: -2x - 1 = 0 => -2x = 1 => x = -1/2 x - 1 = 0 => x = 1

Таким чином, при x = -1/2 та x = 1 значення функції дорівнює 0.

2) Значення функції дорівнює 2: Підставимо f(x) = 2 у формулу f(x) = -2x² + 5x + 1 і розв'яжемо рівняння: -2x² + 5x + 1 = 2 -2x² + 5x - 1 = 0

Щоб розв'язати це рівняння, можна скористатись квадратними рівняннями або факторизацією. Давайте скористаємось факторизацією: -2x² + 5x - 1 = 0 (-2x + 1)(x + 1) = 0

З отриманого рівняння ми бачимо два множники, які, якщо рівні нулю, дадуть нам значення аргументу, при яких функція дорівнює 2: -2x + 1 = 0 або x + 1 = 0

Розв'язуємо ці рівняння: -2x + 1 = 0 => -2x = -1 => x = 1/2 x + 1 = 0 => x = -1

Таким чином, при x = 1/2 та x = -1 значення функції дорівнює 2.

3) Значення функції дорівнює -3: Підставимо f(x) = -3 у формулу f(x) = -2x² + 5x + 1 і розв'яжемо рівняння: -2x² + 5x + 1 = -3 -2x² + 5x + 4 = 0

Щоб розв'язати це рівняння, можна скористатись квадратними рівняннями або факторизацією. Давайте скористаємось факторизацією: -2x² + 5x + 4 = 0 (-2x - 1)(x - 4) = 0

З отриманого рівняння ми бачимо два множники, які, якщо рівні нулю, дадуть нам значення аргументу, при яких функція дорівнює -3: -2x - 1 = 0 або x - 4 = 0

Розв'язуємо ці рівняння: -2x - 1 = 0 => -2x = 1 => x = -1/2 x - 4 = 0 => x = 4

Таким чином, при x = -1/2 та x = 4 значення функції дорівнює -3.

Завдання 3: Знаходження області визначення функції

Знайдемо область визначення функцій за заданими формулами.

1) y = 1/x + 3: Область визначення цієї функції обмежена діленням на 0. Оскільки вираз 1/x дорівнює нулю при x = 0, то x не може дорівнювати 0. Тому область визначення функції y = 1/x + 3 є усі значення x, крім x = 0.

2) y = √(x - 5): Область визначення цієї функції обмежена підкореневим виразом. Щоб підкореневий вираз був не від'ємним, потрібно, щоб