Question

Найдите площадь треугольника, образованного осью абсцисс и двумя соприкасающимися, проведенными из точки (0; -3) к графику функции у = 2+х^2

Answer 1

Объяснение:

Первым шагом найдем точки пересечения графика функции y = 2 + x^2 с осью абсцисс. Для этого решим уравнение:

2 + x^2 = 0

x^2 = -2

Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то данное уравнение не имеет решений, а значит график функции не пересекает ось абсцисс.

Теперь построим прямые, проведенные из точки (0; -3) к графику функции. Одна из них будет касательной к графику функции в точке (0; 2), а вторая - проходить через точку (0; -3) и пересекать график функции в другой точке.

Найдем уравнение касательной к графику функции в точке (0; 2). Для этого найдем производную функции:

y' = 2x

В точке (0; 2) производная равна нулю, а значит касательная имеет уравнение y = 2.

Найдем уравнение второй прямой. Так как она проходит через точку (0; -3), то ее уравнение имеет вид y = kx - 3. Найдем коэффициент k, используя условие прохождения прямой через точку пересечения с графиком функции. Для этого решим систему уравнений:

y = kx - 3

y = 2 + x^2

Подставим первое уравнение во второе:

kx - 3 = 2 + x^2

x^2 - kx + 5 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть неотрицательным, чтобы уравнение имело решения и прямая пересекала график функции:

D = k^2 - 4*5 >= 0

k^2 >= 20

|k| >= 2*sqrt(5)

Так как прямая проходит через точку (0; -3), то k < 0. Из этих условий следует, что -2*sqrt(5) <= k < 0.

Теперь найдем точки пересечения второй прямой с графиком функции. Для этого решим систему уравнений:

y = kx - 3

y = 2 + x^2

Подставим первое уравнение во второе:

kx - 3 = 2 + x^2

x^2 - kx + 5 = 0

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

D = k^2 - 4*5 = k^2 - 20

Так как D >= 0, то уравнение имеет решения:

x1,2 = (k +- sqrt(k^2 - 20)) / 2

Точки пересечения будут иметь координаты (x1; kx1 - 3) и (x2; kx2 - 3).

Теперь осталось найти площадь треугольника, образованного осью абсцисс и двумя прямыми. Очевидно, что основание треугольника будет иметь длину |x1 - x2|, а высота - |kx1 - 3|. Тогда площадь треугольника будет равна:

S = 1/2 * |x1 - x2| * |kx1 - 3|

Answer 2

Для нахождения площади треугольника, образованного осью абсцисс и двумя соприкасающимися, проведенными из точки (0, -3) к графику функции y = 2x^2, необходимо найти координаты точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Для этого, подставим y = 0 в уравнение функции: 0 = 2x^2 Разделим обе части уравнения на 2: 0 = x^2 x = 0

Таким образом, точка пересечения графика функции с осью абсцисс - это точка (0, 0).

Теперь мы можем построить треугольник, используя точку (0, -3) как один из вершин, а точку (0, 0) и ось абсцисс как стороны.

Треугольник будет прямоугольным, поскольку одна из его сторон совпадает с осью абсцисс. Зная длины сторон, мы можем найти площадь треугольника, используя формулу площади прямоугольного треугольника: S = (1/2) * a * b, где a и b - длины катетов.

В данном случае длина катета, проходящего по оси абсцисс, равна |0 - 0| = 0 (при вычислении модуля разности координат использовалось значение модуля |x| = sqrt(x^2)). Длина другого катета - это вертикальное расстояние между точками (0, -3) и (0, 0), то есть |0 - (-3)| = 3.

Итак, площадь треугольника равна S = (1/2) * 0 * 3 = 0.

Таким образом, площадь треугольника, образованного осью абсцисс и двумя соприкасающимися, проведенными из точки (0, -3) к графику функции y = 2x^2, равна 0.