Question

Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения 27^n - 4^n является простым числом.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)

27^n−4^n=(3^n)^3−(2^n)^3=(3^n−2^n)(9^n+6^n+4^n)

n=1

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти все натуральные значения n, при которых значение выражения 27^n - 4^n является простым числом.

Давайте проанализируем это выражение более подробно. Заметим, что 27^n - 4^n можно представить в виде разности квадратов:

27^n - 4^n = (3^n)^3 - (2^n)^2 = (3^n - 2^n)(3^2n + 3^n * 2^n + 2^{2n}).

Теперь посмотрим на два множителя в этой разности. Если оба множителя отличны от 1, то выражение 27^n - 4^n не может быть простым числом, так как оно будет иметь делители отличные от 1 и самого числа. Поэтому, для того чтобы 27^n - 4^n было простым числом, один из множителей должен быть равен 1.

1) Пусть 3^n - 2^n = 1. Это уравнение является уравнением Ферма. Оно имеет только одно решение n = 1, так как для n > 1 разность 3^n - 2^n будет больше 1.

2) Пусть 3^2n + 3^n * 2^n + 2^{2n} = 1. Это уравнение также не имеет решений, так как все слагаемые в левой части больше 1.

Итак, мы получили, что для значения n = 1, выражение 27^n - 4^n является простым числом.

Ответ: Единственным натуральным значением n, при котором значение выражения 27^n - 4^n является простым числом, является n = 1.