Question

Розв'яжіть рівняння: 1) y³ - 5y² - y + 5 = 0; 2) x³ = 2x² + 4x - 8​

Answer 1

1)(y-5)(y2-1)=0
y-5=0
y2-1=0
y=5
y=-1
y=1
2)x2(x-2)-4(x-2)=0
(x-2)(x2-4)=0
x-2=0
x2-4=0
x=2
x=-2
x=2

Answer 2

Звісно, давайте розв'яжемо обидва рівняння.

1) Рівняння \(y³ - 5y² - y + 5 = 0\):

Спробуємо знайти спільні множники у групах термінів:

\[y³ - 5y² - y + 5 = y²(y - 5) - 1(y - 5) = (y - 5)(y² - 1)\]

Отже, ми отримали дві критичні точки: \(y = 5\) та \(y = \pm 1\).

Тепер можемо записати рівняння у вигляді:

\[(y - 5)(y + 1)(y - 1) = 0\]

Розв'язки цього рівняння:

\[y = 5, \quad y = -1, \quad y = 1\]

2) Рівняння \(x³ = 2x² + 4x - 8\):

Перенесемо всі терміни на один бік, щоб мати стандартний кубічний поліном:

\[x³ - 2x² - 4x + 8 = 0\]

Спробуємо знайти можливі раціональні корені, застосовуючи раціональний кореневий теорему (теорема Рафа):

Можливі раціональні корені \(x\) - це дільники вільного члена (в даному випадку, 8) поділені на дільники старшого коефіцієнта (в даному випадку, 1):

Можливі раціональні корені: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\)

Перевіримо їх, підставляючи їх у рівняння. Ми можемо використовувати метод ділення синтетичним способом або пробувати значення по одному. Якщо \(x = 2\) - це розв'язок:

\[2³ - 2(2)² - 4(2) + 8 = 8 - 8 - 8 + 8 = 0\]

Отже, \(x = 2\) - це один з розв'язків.

Тепер розділімо поліном на \((x - 2)\):

\[\frac{x³ - 2x² - 4x + 8}{x - 2} = x² + 2x - 4\]

Отже, ми отримали квадратичний поліном, який можна розв'язати за допомогою квадратного рівняння або факторизації:

\[x² + 2x - 4 = 0\]

Дискримінант цього квадратного рівняння \(D = b² - 4ac = 2² - 4(-4) = 4 + 16 = 20\), тобто дискримінант додатній. Отже, у нас є два розв'язки:

\[x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{20}}{2} = -1 + \sqrt{5}\]

і

\[x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{20}}{2} = -1 - \sqrt{5}\]

Отже, розв'язки рівняння \(x³ = 2x² + 4x - 8\) є \(x = 2, -1 + \sqrt{5}, -1 - \sqrt{5}\).