Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданом отрезке y=x^4-4x^3,(-1;4)

Answer 1

Ответ:

у наиб = 5;      у наим = -27;

Объяснение:

Функция

y = x⁴ - 4х³    на отрезке х ∈ [-1;4]

Производная функции

y' = 4x³ - 12x²

Найдём точки экстремумов

4x³ - 12x² = 0

4х²(х - 3) = 0

х₁ = 0;   х₂ = 3

Находим знаки производной

При х < 0   y' < 0

При 0 < х < 3    y' < 0

При х > 3    y' > 0

В точке х = 3 производная меняет знак с - на +, следовательно

это точка локального минимума.

у min = 3⁴ - 4 · 3³ = -27

Найдём значения функции на границах интервала

При х = -1   у = (-1)⁴ - 4 · (-1)³ = 5

При х = 4   у = 4⁴ - 4 · 4³ = 0

Наибольшее значение функции

y наиб = у(-1) = 5

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y=x^4-4x^3 на заданном отрезке (-1;4), мы можем использовать методы дифференциального исчисления.

Нахождение критических точек:

1. Найдем производную функции y=x^4-4x^3 по переменной x. Для этого возьмем каждую степень x и умножим на соответствующий коэффициент, затем уменьшим показатель степени на 1: y' = 4x^3 - 12x^2.

2. Найдем значения x, при которых производная равна нулю: 4x^3 - 12x^2 = 0.

Факторизуем это уравнение: 4x^2(x - 3) = 0.

Из этого уравнения следует, что x = 0 или x = 3.

Оценка значений функции на концах отрезка:

3. Подставим значения x = -1 и x = 4 в исходную функцию, чтобы оценить значения функции на концах отрезка: y(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 = 1 + 4 = 5. y(4) = (4)^4 - 4(4)^3 = 256 - 256 = 0.

Оценка значений функции в найденных критических точках:

4. Подставим значения x = 0 и x = 3 в исходную функцию, чтобы оценить значения функции в найденных критических точках: y(0) = (0)^4 - 4(0)^3 = 0. y(3) = (3)^4 - 4(3)^3 = 81 - 324 = -243.

Ответ:

Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке (-1;4) составляет 5 и достигается в точке x = -1, а наименьшее значение функции составляет -243 и достигается в точке x = 3.