Question

Для даної функції і знайти первісну, графік якої проходить через дану точку А: 1) f(x) = 1/2 * cos(x/2) - 5sin 5x, A(pi; 0) 2) f(x) = 1/(√(7x - 5)), A(3; 2)​

Answer 1

1) Знайдемо перші похідні функції f'(x).

f'(x) = (1/2) * (-1/2) * sin(x/2) - 5cos(5x) = -1/4 * sin(x/2) - 5cos(5x)

2) Знайдемо функцію F(x), яка є первісною функції f(x). Для цього інтегруємо функцію f'(x):

F(x) = ∫ (-1/4 * sin(x/2) - 5cos(5x)) dx

Для обчислення цього інтегралу можна використовувати методи інтегрування за частинами або таблицю стандартних інтегралів.

Результат інтегрування буде: F(x) = (1/2) * cos(x/2) + (1/25) * sin(5x) + C

3) Знаходимо значення константи C, підставляючи точку A в отриману функцію F(x):

A = (pi, 0) 0 = (1/2) * cos(pi/2) + (1/25) * sin(5*pi) + C 0 = 0 - 0 + C C = 0

Таким чином, першою интеграл знайдено: F(x) = (1/2) * cos(x/2) + (1/25) * sin(5x)

4) Побудуємо графік функції f(x) та його первісної F(x):

- Розмістіть на вісі Ox точку A (pi, 0). - Намалюйте графік функції f(x) та його первісної F(x).

2) Знайдемо перші похідні функції f'(x).

f'(x) = -1/(2 * √(7x + 5)) * (7) = -7/(2 * √(7x + 5))

3) Знайдемо функцію F(x), яка є первісною функції f(x). Для цього інтегруємо функцію f'(x):

F(x) = ∫ (-7/(2 * √(7x + 5))) dx

Для обчислення цього інтегралу можна використовувати методи інтегрування заміни змінної або таблицю стандартних інтегралів.

Результат інтегрування буде: F(x) = -7 * √(7x + 5) / 14 + C

4) Знаходимо значення константи C, підставляючи точку A в отриману функцію F(x):

A = (3, 2) 2 = -7 * √(7 * 3 + 5) / 14 + C 2 = -7 * √(21 + 5) / 14 + C C = 2 + 7 * √26 / 14

Таким чином, першу первісну знайдено: F(x) = -7 * √(7x + 5) / 14 + 2 + 7 * √26 / 14

5) Побудуємо графік функції f(x) та його первісної F(x):

- Розмістіть на вісі Ox точку A (3, 2). - Намалюйте графік функції f(x) та його первісної F(x).