Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ!!!!!ДАЮ 50 БАЛЛОВ!!!! 2. Вычислите значение предела: lim x→0 sin7xtg3x

Answer 1

Ответ:

$\lim\limits _{x \to 0}\ (\underbrace{sin7x}_{\to 0}\cdot \underbrace{tg3x}_{\to 0})=\Big[\ sin0=0\ ,\ tg\, 0=0\ \Big]=0\cdot 0=0$

В условии, наверное, опечатка и скорее всего записано деление, а  не умножение функций. Тогда можно воспользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых величин .

$\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{sin7x}{tg\, 3x}=\Big[\ \dfrac{0}{0}\ \Big]=\lim\limits _{x \to 0}\ \dfrac{7x}{3x}=\dfrac{7}{3}\\\\\\\star \ \ sin\alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ \ tg\alpha (x)\sim \alpha (x)\ ,\ esli\ \alpha (x)\to 0\ \ \star$

Answer 2

Для вычисления предела lim(x→0) sin(7x)tg(3x) воспользуемся тем, что tg(3x) = sin(3x)/cos(3x). Тогда выражение примет вид:

lim(x→0) sin(7x) * (sin(3x)/cos(3x))

Далее воспользуемся тем, что lim(x→0) sin(x)/x = 1 и lim(x→0) cos(x) = 1. Тогда:

lim(x→0) sin(7x) * (sin(3x)/cos(3x)) = 7 * 3 * lim(x→0) (sin(7x)/7x) * lim(x→0) (sin(3x)/3x) * lim(x→0) (1/cos(3x))

Так как lim(x→0) (sin(x)/x) = 1, то lim(x→0) (sin(7x)/7x) = 1 и lim(x→0) (sin(3x)/3x) = 1. Также lim(x→0) (1/cos(3x)) = 1. Подставляем значения:

7 * 3 * 1 * 1 * 1 = 21

Таким образом, значение предела lim(x→0) sin(7x)tg(3x) равно 21.