Question

Пожалуйста помогите с решением пределов.Пропустила тему,теперь не понимаю. 1.Lim (x->бесконечности) x^2-5x^3/x-2x^2+6x^3 2.Lim (x->0) sin3x/x 3.Lim (x->бесконеч.) x^2(1-5x)/x(-2x+6x^2) 4.Lim (x->-3) (x^2+2x-3)^2/x^3+4x^2+3x 5.Lim(n->бесконеч.) (2n^2+2/2n^2+1) Если не трудно с подробным решением.Благодарю!

Answer 1

$1) \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-5x^3}{x-2x^2+6x^3} = \left[\begin{array}{c}\infty\\ \infty\\\end{array}\right] = \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{x^2}{x^3} -5 \frac{x^3}{x^3} }{ \frac{x}{x^3} -2 \frac{x^2}{x^3} +6 \frac{x^3}{x^3} } = \\ \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{1}{x} -5 }{ \frac{1}{x^2} -2 \frac{1}{x} +6 } = \left[\begin{array}{c} \frac{C}{\infty}=0 \end{array}\right] = \frac{0-5}{0-0+6}=-\frac{5}{6}\\ \\ \\2)\lim_{x \to {0}} \frac{sin3x}{x}= 3$


3) lim x-> ∞ (x^2 - 5x^3)/(- 2x^2 + 6x^3) = - 5/6;


4) lim x->-3 (x^2 + 2x - 3)^2/(x^3 + 4x^2+ 3x) = 
=  lim x->-3 (4x^3 + 12x^2 - 4x - 12)/(3x^2 + 8x + 3) = 
= 0/6 = 0;    


5) lim n->∞ (2n^2 + 2)/(2n^2 + 1) = 2/2 = 1 ;

Answer 2

Конечно, давайте решим каждый предел по порядку:

1. \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 5x^3}}{{-2x^2 + 6x^3}} \)

Для нахождения этого предела давайте выделим старший член в числителе и знаменателе:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2(1 - \frac{5}{x})}}{{x^2(-2 + \frac{6}{x})}} \]

Теперь сокращаем общий множитель \(x^2\):

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{{1 - \frac{5}{x}}}{{-2 + \frac{6}{x}}} \]

Теперь, когда \(x\) стремится к бесконечности, все члены с \(1/x\) стремятся к нулю:

\[ \frac{1 - 0}{-2 + 0} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \]

Таким образом, первый предел равен \(-\frac{1}{2}\).

2. \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{x}} \)

Это классический предел, который можно решить с использованием тригонометрического тождества \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(ax)}}{{ax}} = 1\):

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{3x}} \times \frac{3}{3} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, второй предел равен \(\frac{1}{3}\).

3. \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2(1 - 5x)}}{{x(-2x + 6x^2)}} \)

Выделим старший член в числителе и знаменателе:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2(1 - \frac{5}{x})}}{{x(-2 + 6x)}} \]

Сокращаем общий множитель \(x\):

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{{1 - \frac{5}{x}}}{{-2 + 6x}} \]

Также, когда \(x\) стремится к бесконечности, все члены с \(1/x\) стремятся к нулю:

\[ \frac{1 - 0}{-2 + \infty} = 0 \]

Таким образом, третий предел равен 0.

4. \( \lim_{{x \to -3}} \frac{{(x^2 + 2x - 3)^2}}{{x^3 + 4x^2 + 3x + 5}} \)

Попробуем раскрыть квадрат в числителе:

\[ \lim_{{x \to -3}} \frac{{(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 3)}}{{x^3 + 4x^2 + 3x + 5}} \]

Теперь сократим общий множитель \(x + 3\):

\[ \lim_{{x \to -3}} \frac{{(x + 3)(x^2 + 2x - 3)}}{{x^3 + 4x^2 + 3x + 5}} \]

Теперь подставим \(x = -3\):

\[ \frac{0}{-27 + 27 - 9 + 5} = 0 \]

Таким образом, четвертый предел равен 0.

5. \( \lim_{{n \to \infty}} \frac{{2n^2 + 2}}{{2n^2 + 1}} \)

Этот предел можно решить, поделив числитель и знаменатель на \(n^2\):

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{{\frac{2}{{n^2}} + \frac{2}{{n^2}}}}{{1 + \frac{1}{{2n^2}}}} \]

Теперь, когда \(n\) стремится к бесконечности, все члены с \(1/n^2\) стремятся к нулю:

\[ \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0 \]

Таким образом, пятый предел равен 0.