Question

1)lim x^2 x->4 2)lim x^2-1//2x^2-x-1 x->1 3)lim x^2-1//2x^2-x-1 x->бесконечности 4)lim x^2-1//2x^2-x-1 x->0 5)lim x^3-1//x^2-1 x^2-1 6)lim sin x4//2x x->0

Answer 1

$\lim_{x \to 4} x^{2} = 4^{2} =16 \\ \lim_{x \to1} \frac{ x^{2} -1}{2 x^{2} -x-1} = \frac{ 1 ^{2} -1}{2 *1^{2} -1-1} = \frac{0}{0} =\ \textgreater \ \lim_{x \to1} \frac{ x^{2} -1}{2 x^{2} -x-1}= \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)2x+1}$$=\frac{x+1}{2x+1} = =\frac{1+1}{2*1+1} = \frac{2}{3} \\ \lim_{x \to \infty} \frac{ x^{2} -1}{2 x^{2} -x-1} = \frac{\infty}{\infty} =\ \textgreater \ \lim_{x \to \infty} \frac{ x^{2} -1}{2 x^{2} -x-1}= \frac{1}{2} \\ \lim_{x \to 0} \frac{ x^{2} -1}{2 x^{2} -x-1}= \frac{ -1}{-1}=1 \\ 6) \lim_{x \to0} sin \frac{x ^{4} }{2x} =sin \frac{ x^{3} }{2} =0$

Answer 2

Перед тем, как приступить к решению каждого из этих предельных значений, давайте разберемся в том, что они означают.

Предел функции f(x) при x стремящемся к a (x → a) обозначает, что мы исследуем поведение функции f(x) вблизи точки a. Если предел существует, то мы можем узнать, как ведет себя функция вокруг этой точки.

Теперь давайте рассмотрим каждый из предложенных вами пределов подробнее:

1) Предел (x^2 + x) при x стремящемся к 4

Мы хотим найти значение предела функции (x^2 + x), когда x стремится к 4. Для этого мы можем просто подставить значение 4 вместо x и посчитать:

lim (x^2 + x) = lim (4^2 + 4) = 20

Таким образом, предел функции (x^2 + x) при x стремящемся к 4 равен 20.

2) Предел (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x) при x стремящемся к 1

Мы хотим найти значение предела функции (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x), когда x стремится к 1. Для этого мы можем сократить подобные слагаемые в знаменателе:

(x^2 - 1) / (2x^2 - 1)

Теперь мы можем подставить значение 1 вместо x и посчитать:

lim (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x) = lim (1^2 - 1) / (2*1^2 - 1) = 0 / 1 = 0

Таким образом, предел функции (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x) при x стремящемся к 1 равен 0.

3) Предел (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x) при x стремящемся к бесконечности

В этом случае мы хотим найти значение предела функции (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x), когда x стремится к бесконечности. Для этого мы можем проанализировать степени в знаменателе:

2x^2 - x - 1 + x = 2x^2 - 1

Теперь мы можем разделить каждый член на x^2:

(x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x) = (1 - 1/x^2) / (2 - 1/x^2)

Когда x стремится к бесконечности, 1/x^2 стремится к нулю, поэтому:

lim (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x) = lim (1 - 0) / (2 - 0) = 1 / 2

Таким образом, предел функции (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x) при x стремящемся к бесконечности равен 1/2.

4) Предел (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x) при x стремящемся к 0

Мы хотим найти значение предела функции (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x), когда x стремится к 0. Для этого мы можем просто подставить значение 0 вместо x и посчитать:

lim (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x) = lim (-1) / (-1) = 1

Таким образом, предел функции (x^2 - 1) / (2x^2 - x - 1 + x) при x стремящемся к 0 равен 1.

5) Предел (x^3 - 1) / (x^2 - 1 + x^2 - 1) при x стремящемся к 0

Мы хотим найти значение предела функции (x^3 - 1) / (x^2 - 1 + x^2 - 1), когда x стремится к 0. Для этого мы можем просто подставить значение 0 вместо x и посчитать:

lim (x^3 - 1) / (x^2 - 1 + x^2 - 1) = lim (-1) / (-2) = 1/2

Таким образом, предел функции (x^3 - 1) / (x^2 - 1 + x^2 - 1) при x стремящемся к 0 равен 1/2.

6) Предел sin(x^4) / (2x + x) при x стремящемся к 0

Мы хотим найти значение предела функции sin(x^4) / (2x + x), когда x стремится к 0. Для этого мы можем просто подставить значение 0 вместо x и посчитать:

lim sin(x^4) / (2x + x) = lim sin(0^4) / (2*0 + 0) = lim 0 / 0

Здесь мы получаем неопределенность 0/0, что означает, что нам нужно использовать другие методы для вычисления предела. Один из таких методов - это применение правила Лопиталя, которое позволяет нам вычислить предел функции, когда он принимает неопределенную форму 0/0.

Применим правило Лопиталя:

lim sin(x^4) / (2x + x) = lim (4x^3*cos(x^4)) / 3 = 0

Таким образом, предел функции sin(x^4) / (2x + x) при x стремящемся к 0 равен 0.

Надеюсь, это помогает! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.