Question

В правій кишені 3 монети по 2 копійки і 5 монет по 10 копійок, в лівій – 4 мо- нети по 2 копійки і 6 монет по 10 копійок. З правої кишені навмання переклали 2 монети в ліву, після чого з лівої дістали 10 копійок. Знайти ймовірність того, що переклали дві монети по 2 копійки За допомогою теореми повної ймовірності або Байеса

Answer 1

P(2 → 2) = P(n → m + d) * P(d = 2)

Отримаємо:

P(2 → 2) = (n - 1)! / (m + d - 1)! * (1/n!) * (1/m + 2)

Також ми можемо розрахувати ймовірність перекладу однієї монети по 10 копійок:

P(10 → 10) = P(n → m + d) * P(d = 10)

Отримаємо:

P(10 → 10) = (n - 1)! / (m + d - 1)! * (1/n!) * (1/m + 10)

Таким чином, ймовірність того, що переклали дві монети по 2 копійки, дорівнює:

P(2 → 2) = 0,09375

і ймовірність того, що переклали одну монету по 10 копійок - 0,02758.

Отже, найбільш ймовірним є варіант, коли переклали дві монети по 2 копійки, а також одну монету по 10 копійок.

Answer 2

Давайте розглянемо це завдання за допомогою теореми повної ймовірності. Позначимо події:

- \( A \): переклали 2 монети по 2 копійки - \( B \): дістали 10 копійок

Ми шукаємо ймовірність події \( A \), знаючи, що сталася подія \( B \).

Для застосування теореми повної ймовірності розглянемо всі можливі варіанти того, як могла статися подія \( B \). З погляду правої та лівої кишень:

1. Переклали 2 монети по 2 копійки в ліву і дістали 10 копійок з лівої кишені. 2. Не переклали 2 монети по 2 копійки в ліву і дістали 10 копійок з лівої кишені.

Знаючи ці два варіанти, можемо записати теорему повної ймовірності:

\[ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\neg A) \cdot P(B|\neg A) \]

де \( P(A) \) - ймовірність того, що переклали 2 монети по 2 копійки, \( P(\neg A) \) - ймовірність того, що не переклали, \( P(B|A) \) - ймовірність того, що дістали 10 копійок за умови, що переклали, і \( P(B|\neg A) \) - ймовірність того, що дістали 10 копійок за умови, що не переклали.

За умовою маємо:

\[ P(A) = \frac{1}{2} \] (бо перекладання 2 монет в ліву або не перекладання рівноймовірні).

Також маємо:

\[ P(B|A) = \frac{6}{10} \] (так як залишилося 6 монет по 10 копійок в лівій кишені і з неї витягли 10 копійок).

Та:

\[ P(\neg A) = \frac{1}{2} \] (якщо не переклали 2 монети в ліву, то переклали їх в праву).

Також:

\[ P(B|\neg A) = \frac{5}{10} \] (залишилося 5 монет по 10 копійок в правій кишені, і з неї витягли 10 копійок).

Підставимо ці значення у формулу:

\[ P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{10} \]

\[ P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \]

\[ P(B) = \frac{3}{10} + \frac{1}{4} \]

\[ P(B) = \frac{12}{40} + \frac{10}{40} \]

\[ P(B) = \frac{22}{40} \]

\[ P(B) = \frac{11}{20} \]

Отже, ймовірність того, що переклали 2 монети по 2 копійки, дорівнює \( \frac{11}{20} \).