Question

Треба дослідити дві функції y = 4/(1 + x ^ 2) y = ln(x ^ 2 + 16)

Answer 1

Два задані вам рівняння мають вигляд:

1. y = 4/(1 + x^2) 2. y = ln(x^2 + 16)

Давайте розглянемо кожну з цих функцій окремо та дізнаємось більше про їх характеристики.

Функція 1: y = 4/(1 + x^2)

Ця функція є раціональною функцією, де чисельник - константа 4, а знаменник - квадрат виразу (1 + x^2).

Графік функції:

Давайте побудуємо графік цієї функції, щоб краще розуміти його форму та властивості. Для цього використаємо графічний пакет Python та бібліотеку matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = 4/(1 + x**2)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Графік функції y = 4/(1 + x^2)')
plt.grid(True)
plt.show()


Властивості функції:

- Функція y = 4/(1 + x^2) є неперервною на всій числовій прямій. - Знаменник (1 + x^2) ніколи не дорівнює нулю, тому функція не має вертикальних асимптот. - Горизонтальна асимптота: коли x набуває дуже великих значень або дуже малих значень, функція приближається до нуля. Тому y = 0 є горизонтальною асимптотою функції. - Функція симетрична відносно вісі ординат.

Функція 2: y = ln(x^2 + 16)

Ця функція є натуральним логарифмом виразу (x^2 + 16), де x - змінна.

Графік функції:

Аналогічно, побудуємо графік функції y = ln(x^2 + 16), використовуючи matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = np.log(x**2 + 16)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Графік функції y = ln(x^2 + 16)')
plt.grid(True)
plt.show()


Властивості функції:

- Функція y = ln(x^2 + 16) визначена для всіх x, де x^2 + 16 > 0, тобто для всіх дійсних чисел x. - Функція має вертикальну асимптоту x = 0, оскільки при x->0, вираз (x^2 + 16) збільшується до нескінченності. - Функція зростає дуже повільно при збільшенні значень x.

Висновок:

Обидві функції мають свої характеристики та особливості. Графіки відображають форму функцій та їх залежність від змінної x. Вивчення цих функцій дозволяє нам краще розуміти їх поведінку та використовувати їх у різних математичних та наукових задачах.