Question

В урне 2 белых, 1 черный и 3 красных шара, вынимают 3 шара. Найти вероятности: А – шары разного цвета; В – есть хотя бы один белый шар.

Answer 1

Всего шаров в урне 2 + 1 + 3 = 6. Сопоставим вопрос данной задачи: сколькими способами можно выбрать три шара разного цвета?

Белый шар нужно вынуть 2 способами, черный - 1 способами, а красный - 3 способами, итого 2 * 1 * 3 = 6 вариантов.

Кол-во всевозможных исходов = числу способов вынуть 3 шара из 6, то есть, $\rm C^3_6=\dfrac{6!}{3!3!}=\dfrac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=20$

$\rm P(A)=\dfrac{m}{n}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}=0\mbox{,}3$

$\rm B$ - есть хотя бы один белый шар, $\rm \overline{B}$ - противоположное событие.

НЕ белых шаров в урне $\rm 1+3=4$. Выбрать 3 не белых шаров можно $\rm C^3_4=4$ способами, а кол-во всевозможных исходов остаётся неизменной как в событии $\rm A$, т.е. $\rm n=20$

$\rm P(\overline{B})=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}=0{\mbox,}2$

$\rm P(B)=1-P(\overline{B})=1-0{\mbox,}2=0{\mbox,}8$

Answer 2

Давайте рассмотрим оба вопроса.

Вероятность события \(А\) – "шары разного цвета":

Чтобы определить вероятность того, что из урны вынут три шара разного цвета, давайте разобьем это на несколько случаев:

1. Белый, черный, красный. 2. Белый, красный, черный. 3. Черный, белый, красный. 4. Черный, красный, белый. 5. Красный, белый, черный. 6. Красный, черный, белый.

Всего у нас есть \(2 \times 1 \times 3 = 6\) способов выбрать три шара разного цвета.

Теперь давайте найдем общее количество способов извлечь три шара из урны:

\(\text{Общее количество способов} = C(2 + 1 + 3, 3) = C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20.\)

Итак, вероятность события \(А\) (извлечение трех шаров разного цвета) равна:

\[P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.\]

Вероятность события \(В\) – "есть хотя бы один белый шар":

Для того чтобы найти вероятность того, что хотя бы один шар будет белым, рассмотрим следующие случаи:

1. Белый, белый, белый. 2. Белый, белый, черный. 3. Белый, черный, белый. 4. Черный, белый, белый. 5. Белый, черный, черный. 6. Черный, белый, черный. 7. Черный, черный, белый. 8. Красный, белый, белый. 9. Белый, красный, белый. 10. Белый, белый, красный.

Здесь у нас есть 10 благоприятных исходов. Теперь, общее количество способов извлечь три шара, как мы вычислили ранее, равно 20.

Итак, вероятность события \(В\) (есть хотя бы один белый шар) равна:

\[P(B) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}.\]

Таким образом, \(P(A) = \frac{3}{10}\) и \(P(B) = \frac{1}{2}\).