Question

В урне 3 белых, 2 красных, 1 черный шар, вынимают 2 шара. Найти вероятности: А – шары одного цвета; В – есть ровно один черный шар.

Answer 1

Общее количество вариантов выбрать 2 шара из 6 имеющихся равно числу сочетаний из 6 по 2:

$C_6^2=\dfrac{6!}{2!\cdot(6-2)!} =\dfrac{6\cdot5}{1\cdot2} =15$

Определим сколькими способами можно выбрать два шара одного цвета. Так как черный шар всего один, то это могут быть либо белые шары, либо красные. Выбрать 2 белых шара можно $C_3^2=3$ способами, а 2 красных шара - $C_2^2=1$ способами.

Вероятность определим как отношение благоприятных вариантов к общему числу вариантов:

$P(A)=\dfrac{C_3^2+C_2^2}{C_6^2} =\dfrac{3+1}{15} =\boxed{\dfrac{4}{15}}$

Определим сколькими способами можно выбрать два шара так, чтобы один из них был черным. Если один шар черный, то другой можем выбрать из пяти оставшихся шаров, то есть всего существует 5 благоприятных вариантов.

Определяем вероятность:

$P(B)=\dfrac{5}{C_6^2} =\dfrac{5}{15} =\boxed{\dfrac{1}{3}}$

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать комбинаторику и вероятность. Давайте рассмотрим каждый вопрос по отдельности.

Вероятность события А – шары одного цвета:

В данной задаче у нас есть 3 белых шара, 2 красных шара и 1 черный шар. Мы извлекаем 2 шара из урны без возвращения. Чтобы найти вероятность того, что оба шара будут одного цвета, нам нужно рассмотреть все возможные комбинации.

1) Оба шара белые:

Вероятность выбрать первый белый шар составляет 3/6 (так как изначально в урне 6 шаров, и 3 из них белые). После выбора первого белого шара, у нас остается 5 шаров в урне, из которых 2 белых. Таким образом, вероятность выбрать второй белый шар после выбора первого белого шара составляет 2/5. Чтобы найти вероятность обоих событий, мы умножаем эти вероятности друг на друга:

(3/6) * (2/5) = 6/30 = 1/5

2) Оба шара красные:

Аналогично, вероятность выбрать первый красный шар составляет 2/6 (так как изначально в урне 6 шаров, и 2 из них красные). После выбора первого красного шара, остается 5 шаров в урне, из которых 1 красный. Таким образом, вероятность выбрать второй красный шар после выбора первого красного шара составляет 1/5. Умножим эти вероятности:

(2/6) * (1/5) = 2/30 = 1/15

3) Оба шара черные:

Вероятность выбрать первый черный шар составляет 1/6 (так как изначально в урне 6 шаров, и 1 из них черный). После выбора первого черного шара, остается 5 шаров в урне, из которых 0 черных (все они уже выбраны). Таким образом, вероятность выбрать второй черный шар после выбора первого черного шара составляет 0/5. Умножим эти вероятности:

(1/6) * (0/5) = 0

Таким образом, вероятность выбрать два черных шара равна 0.

Суммируя все вероятности, получаем:

1/5 + 1/15 + 0 = 4/15

Вероятность события В – есть ровно один черный шар:

Для нахождения вероятности того, что в урне есть ровно один черный шар, мы должны рассмотреть две возможные ситуации:

1) Первый выбранный шар – черный, второй – любого другого цвета. 2) Первый выбранный шар – любого другого цвета, второй – черный.

1) Первый шар – черный, второй – любого другого цвета:

Вероятность выбрать первый черный шар составляет 1/6 (так как изначально в урне 6 шаров, и 1 из них черный). После выбора первого черного шара, остается 5 шаров в урне, из которых 3 белых и 2 красных. Таким образом, вероятность выбрать второй шар любого другого цвета составляет (3+2)/5 = 5/5 = 1. Умножим эти вероятности:

(1/6) * 1 = 1/6

2) Первый шар – любого другого цвета, второй – черный:

Вероятность выбрать первый шар любого другого цвета составляет (3+2)/6 = 5/6 (так как изначально в урне 6 шаров, и 3 из них белые, 2 красные). После выбора первого шара любого другого цвета, остается 5 шаров в урне, из которых 1 черный. Таким образом, вероятность выбрать второй черный шар составляет 1/5. Умножим эти вероятности:

(5/6) * (1/5) = 1/6

Суммируя вероятности из двух ситуаций, получаем:

1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Таким образом, вероятность события В – есть ровно один черный шар равна 1/3.