Question

Пожалуйста, решите хоть одно из них: 1) Знайдіть корені рівняння:Найдите корни уравнения:4^(x)+4^(1-x)=52) Розв'яжіть нерівність: Решите неравенство:5•9^(x)+3•25^(x)=8•15^(x)3) Розв'яжіть рівняння:Решите уравнение:25^(tg²x)+125=6•5^(1/cos²x)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) 4ˣ +4¹⁻ˣ =5

4ˣ +4¹/4ˣ -5=0  умножим уравнение на 4ˣ>0, получим:

4²ˣ +4 -5·4ˣ =0

4²ˣ  -5·4ˣ +4=0

пусть 4ˣ =у, причем у>0, тогда уравнение примет вид:

у²-5у+4=0

D= 5² -4·1·4= 25 - 16 =9=3²>0

y₁= (5+3)/2=4

y₂= (5-3)/2=1

а)Если у=4, то

4ˣ =4

4ˣ =4¹

х=1

Если у=1, то

4ˣ=1

4ˣ =4⁰

х=0

Ответ: х=1 и х=0

2) 5·9ˣ +3·25ˣ =8·15ˣ

5·3²ˣ +3·5²ˣ  = 8·3ˣ·5ˣ, разделим уравнение на выражение 3ˣ·5ˣ>0

5·(3/5)ˣ + 3·(5/3)ˣ =8 ⇒ пусть (3/5)ˣ=у, причем у>0, тогда имеем:

5у + 3/у -8=0

5у²  -8у+3=0

D= (-8)² -4·5·3 = 64 - 60=4 >0

y₁= (8+2)/10=1

y₂= (8-2)/10=3/5 ⇒

5у² -8у -3 =0

Если у=1, то (3/5)ˣ =1 ⇒ (3/5)ˣ =(3/5)⁰ ⇒ x=0

Если у= 3/5 , то (3/5)ˣ =3/5  ⇒ (3/5)ˣ =(3/5)¹ ⇒ x=1

Ответ: х=1 и х=0

Answer 2

1) Розв'язання рівняння: \(4^x + 4^{1-x} = 5\)

Давайте спробуємо розв'язати це рівняння. Почнемо зі скорочення степенів 4:

\[4^x + \frac{4}{4^x} = 5\]

Помножимо обидві сторони на \(4^x\), щоб позбавитися від знаменника:

\[4^{2x} + 4 = 5 \cdot 4^x\]

Позначимо \(y = 4^x\):

\[y^2 + 4 = 5y\]

Припустимо, що ми переносимо всі терміни на одну сторону, отримаємо квадратне рівняння:

\[y^2 - 5y + 4 = 0\]

Розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

\[y = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 4}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}\]

Таким чином, ми отримали два значення для \(y\):

\[y_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3\]

\[y_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2\]

Тепер, враховуючи \(y = 4^x\), ми можемо знайти значення \(x\):

1. Для \(y_1 = 3\): \(4^x = 3\), тоді \(x = \log_4{3}\) 2. Для \(y_2 = 2\): \(4^x = 2\), тоді \(x = \log_4{2}\)

Отже, рішення рівняння \(4^x + 4^{1-x} = 5\) - це \(x = \log_4{3}\) або \(x = \log_4{2}\).

2) Розв'язання нерівності: \(5 \cdot 9^x + 3 \cdot 25^x \leq 8 \cdot 15^x\)

Давайте спробуємо спростити цю нерівність:

\[5 \cdot 3^{2x} + 3 \cdot 5^{2x} \leq 8 \cdot 3^x \cdot 5^x\]

Тепер позначимо \(u = 3^x\) і \(v = 5^x\), тоді:

\[5u^2 + 3v^2 \leq 8uv\]

Це квадратне нерівності. Перенесемо все на одну сторону:

\[5u^2 + 3v^2 - 8uv \leq 0\]

Ми хочемо знайти умови, при яких ця нерівність виконується. Маємо добуток коефіцієнтів при \(u^2\) і \(v^2\) від'ємний, що свідчить про те, що один із членів повинен бути від'ємний. Однак, також потрібно враховувати знак добутку \(uv\).

Таким чином, у нас є кілька можливих варіантів:

1. \(u \leq 0\) і \(v \geq 0\) 2. \(u \geq 0\) і \(v \leq 0\) 3. \(u \leq 0\) і \(v \leq 0\)

Розглянемо кожен варіант окремо:

1. \(3^x \leq 0\) (неможливо, бо степінь буде завжди додатною) 2. \(5^x \geq 0\) (завжди виконується) 3. Цей варіант не враховується, оскільки обидва члени \(u\) і \(v\) не можуть бути від'ємними.

Отже, умова \(5 \cdot 9^x + 3 \cdot 25^x \leq 8 \cdot 15^x\) виконується, коли \(5^x \geq 0\) або, іншими словами, для всіх \(x\).

3) Розв'язання рівняння: \(25^{\tan^2{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\frac{1}{\cos^2{x}}}\)

Давайте спробуємо спростити це рівняння:

\[25^{\tan^2{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\frac{1}{\cos^2{x}}}\]

Спростимо степені:

\[(5^2)^{\tan^2{x}} + 125 = 6 \cdot (5^{\frac{1}{\cos^2{x}}})\]

\[5^{2\tan^2{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\frac{1}{\cos^2{x}}}\]

Тепер врахуємо, що \(5^{\frac{1}{\cos^2{x}}} = 5^{\sec^2{x}}\), а \(\sec^2{x} = 1 + \tan^2{x}\):

\[5^{2\tan^2{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{1 + \tan^2{x}}\]

Використаємо позначення \(y = 5^{\tan^2{x}}