Question

Найдите коэффициент при х^18 в разложении бинома Ньютона (х — 1)^20.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

очевидно что это будет третий член разложения бинома

по формуле

С²₂₀x¹⁸(-1)²=(20!/(2!*(20-2)!)x¹⁸=(20!/(2!18!))x¹⁸=(19*20/2)x¹⁸=190x¹⁸

коэффициент 190

Answer 2

Разложение бинома Ньютона выглядит следующим образом:

\[(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k\]

где \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

В данном случае у нас есть бином \((x - 1)^{20}\), и мы ищем коэффициент при \(x^{18}\). Таким образом, мы ищем значение \(k\) в сумме, где \(x^{n-k} = x^{20-k}\) и \(y^k = (-1)^k\).

\[ \binom{20}{k} \cdot x^{20-k} \cdot (-1)^k \]

Для \(x^{18}\) нам нужно, чтобы \(20 - k = 18\), отсюда \(k = 2\). Таким образом, коэффициент при \(x^{18}\) равен:

\[ \binom{20}{2} \cdot (-1)^2 = \frac{20!}{2!18!} \cdot 1 = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190 \]

Таким образом, коэффициент при \(x^{18}\) в разложении бинома Ньютона \((x - 1)^{20}\) равен 190.