Question

Найдите коэффициент при x^4 в разложении бинома ньютона (3-х)^6

Answer 1

Ответ: 135

Объяснение:

Для выполнения данного задания необходимо знать формулу Бинома Ньютона (приведена на изображении)

При этом общий член Бинома Ньютона обведён на изображении в рамку. Именно его и требуется рассматривать:

С(k,n) * x^(n-k) * y^k.

в данной задаче

(x+y)^n = (-x+3)^6

то есть вместо х в формуле следует подставить (-х), вместо у подставляем 3, а вместо n используем 6

Тогда общий член Бинома примет вид:

C(k,6)* (-x)^(6-k) * 3^k.

Необходимо найти коэффициент при x^4, то есть 6-k=4,

соответственно k = 6-4=2

!!! 1)

Тогда , согласно формуле, приведенной на 2-ом изображении,

С(2, 6)= (6!) / ((6-2)!*2!)=

=6!/(4!*2!)=(1*2*3*4*5*6)/(1*2*3*4*1*2)=

=(5*6)/2=5*3=15

!!! 2)

(-х)^4=(-1)^4 * х^4 = 1 * х^4=х^4

!!! 3)

3^2=3*3=9

Собрав всё вместе, получаем:

C(2,6)*(-x)^4*3^2=

=15* x^4 *9 = (15*9)* (x^4) = 135x^4

Answer 2

Для нахождения коэффициента при x^4 в разложении бинома Ньютона (3-x)^6 можно воспользоваться формулой бинома Ньютона:

C(n, k) * a^(n-k) * b^k,

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, a - первый член (3), b - второй член (-x), n - степень бинома (6), k - степень x, которую мы хотим найти (4).

C(6, 4) * (3)^(6-4) * (-x)^4

Сначала вычислим биномиальный коэффициент C(6, 4):

C(6, 4) = 6! / (4!(6-4)!) = 6! / (4! * 2!) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((4 * 3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = (720) / (24 * 2) = 720 / 48 = 15.

Теперь вычислим степени 3 и x:

(3)^(6-4) = 3^2 = 9, (-x)^4 = x^4.

Теперь мы можем умножить все эти значения:

15 * 9 * x^4 = 135x^4.

Итак, коэффициент при x^4 в разложении бинома Ньютона (3-x)^6 равен 135.