Question

Найдите коэффициент при x² в разложении бинома Ньютона(x-1)²⁰.​

Answer 1

Объяснение:

$(x-1)^{20}=C_{20}^{18}x^{20-18}*1^{18}=\frac{20!}{(20-18)!*18!}*x^2*1=\frac{18!*19*20}{2!*18!}x^2=\\=19*10*x^2=190x^2.$

Answer 2

Ответ:

190

Объяснение:

...-1140x³+190x²-20x+1

Answer 3

Разложение бинома Ньютона для выражения \((x-1)^{20}\) можно найти с использованием формулы:

\[ (x - y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} (-y)^k \]

где \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент, который равен \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

В вашем случае \(n = 20\) и \(y = 1\). Подставим эти значения в формулу:

\[ (x - 1)^{20} = \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} x^{20-k} (-1)^k \]

Теперь давайте найдем коэффициент при \(x^2\). В разложении, коэффициент при \(x^2\) будет получаться только при \(k = 18\) и \(k = 20\), так как \(20 - 18 = 2\) и \(20 - 20 = 0\). Подставим значения \(k = 18\) и \(k = 20\) в формулу биномиального коэффициента:

\[ \binom{20}{18} = \frac{20!}{18! \cdot (20-18)!} = \frac{20!}{18! \cdot 2!} = 190 \]

\[ \binom{20}{20} = \frac{20!}{20! \cdot 0!} = 1 \]

Теперь подставим эти значения в разложение:

\[ (x - 1)^{20} = \binom{20}{18} x^2 (-1)^{18} + \binom{20}{20} (-1)^{20} \]

\[ = 190x^2 + 1 \]

Таким образом, коэффициент при \(x^2\) в разложении бинома Ньютона \((x-1)^{20}\) равен 190.