Question

Найдите решение неравенства 1/2cos3x+√3/2sin3x<-√2/2​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{13\pi }{36} +\dfrac{2\pi n}{3} < x$

Объяснение:

$\dfrac{1}{2} cos3x+\dfrac{\sqrt{3} }{2} sin3x$

$\dfrac{3\pi }{4} +2\pi n< 3x-\dfrac{\pi }{3}$

$\dfrac{9\pi }{12} +\dfrac{4\pi }{12} +2\pi n< 3x$

$\dfrac{13\pi }{12} +2\pi n< 3x$

Answer 2

Дано неравенство:

1/2cos(3x) + √3/2sin(3x) < -√2/2.

Перепишем его в виде:

cos(3x)/2 + √3sin(3x)/2 < -√2/2.

Заметим, что вещественная часть левой части неравенства равна cos(3x)/2, а мнимая часть равна √3sin(3x)/2.

Тогда можем выразить неизвестное sin^2(3x) по следующей формуле:

sin^2(3x) = 1 - cos^2(3x).

Подставим это в неравенство:

cos(3x)/2 + √3√(1 - cos^2(3x))/2 < -√2/2.

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

cos(3x) + √3√(1 - cos^2(3x)) < -√2.

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

cos(3x) + √3√(1 - cos^2(3x)) + √2 < 0.

Применим формулу косинуса двойного аргумента:

cos(2α) = 2cos^2(α) - 1.

Подставим ее в неравенство:

cos(3x) + √3√(1 - (2cos^2(3x) - 1)) + √2 < 0.

Приведем подобные слагаемые внутри корня:

cos(3x) + √3√(2 - 2cos^2(3x)) + √2 < 0.

Вынесем общий множитель √2 за скобку:

√2(cos(3x)/√2 + √3√(2 - 2cos^2(3x))/√2) + √2 < 0.

Сократим дроби на множитель sqrt(2):

(cos(3x) + √3√(2 - 2cos^2(3x))) + √2 < 0.

Рассмотрим введенные обозначения:

a = cos(3x) и b = 2 - 2cos^2(3x).

Получим систему:

a + √3√b + √2 < 0. a = cos(3x). b = 2 - 2cos^2(3x).

Решим систему методом подстановки (так как мы не знаем как именно раскрыть корень √b):

1) Подставляем a = cos(3x) в первое и второе уравнение системы, получаем:

cos(3x) + √3√(2 - 2cos^2(3x)) + √2 < 0. cos(3x) = cos(3x).

2) Сокращаем sqrt(2):

cos(3x) + √3√(2 - 2cos^2(3x)) + √2 < 0. cos(3x) + √3√(2 - 2cos^2(3x)) < -√2.

3) Возведем в квадрат обе части неравенства:

(cos(3x))^2 + 2cos(3x)√3√(2 - 2cos^2(3x)) + 3(2 - 2cos^2(3x)) < 2. 2cos(3x)√3√(2 - 2cos^2(3x)) < 2 - (cos(3x))^2 - 3(2 - 2cos^2(3x)). 2cos(3x)√3√(2 - 2cos^2(3x)) < 2 - cos^2(3x) - 6 + 6cos^2(3x). 2cos(3x)√3√(2 - 2cos^2(3x)) < 4 + 5cos^2(3x).

4) Подставляем выражение b = 2 - 2cos^2(3x):

2cos(3x)√3√b < 4 + 5cos^2(3x).

5) Разделим обе части неравенства на cos(3x):

2√3√b < 4cos(3x)/cos(3x) + 5cos^2(3x)/cos(3x).

6) Упростим выражения:

2√3√b < 4 + 5cos(3x).

7) Избавимся от корня:

2√3√b - 2 < 4 + 5cos(3x) - 2.

8) Отсюда получаем:

2√3√b < 2 + 5cos(3x).

9) Делим обе части неравенства на 2 и заменяем sqrt(b) на sqrt(2 - 2cos^2(3x)):

√3√(2 - 2cos^2(3x)) < 1 + (5/2)cos(3x).

10) Возведем в квадрат обе части неравенства:

3(2 - 2cos^2(3x)) < (1 + (5/2)cos(3x))^2.

11) Раскроем скобки:

6 - 6cos^2(3x) < 1 + 2cos(3x) + (25/4)cos^2(3x).

12) Сгруппируем подобные слагаемые:

(-5/4)cos^2(3x) + 2cos(3x) + 5 < 0.

13) Перенесем все слагаемые влево:

(-5/4)cos^2(3x) + 2cos(3x) + 5 + 0 < 0.

14) Умножим обе части неравенства на -4, чтобы избавиться от знака минус перед первым слагаемым:

5cos^2(3x) - 8cos(3x) - 20 > 0.

15) Решим указанное квадратное неравенство. Нам нужно найти интервалы, на которых данное неравенство положительно (больше нуля). Для этого рассмотрим знаки при значении коэффициента при каждом слагаемом:

a = 5, b = -8, c = -20.

Дискриминант D = (-8)^2 - 4*5*(-20) = 64 + 400 = 464 > 0, значит, уравнение имеет два различных корня.

16) Найдем эти корни:

x1 = (-(-8) + sqrt(464))/(2*5) = (8 + sqrt(464))/10, x2 = (-(-8) - sqrt(464))/(2*5) = (8 - sqrt(464))/10.

Оба корня положительны: x1 > 0 и x2 > 0.

Итак, решение исходного неравенства выглядит следующим образом:

0 < x < (8 + sqrt(464))/10 или 0 < x < (8 - sqrt(464))/10.