Question

Якщо довжину прямокутника зменшити на 3 см, а ширину збільшити на 2 см, то його площа збільшитсья на 6 см квадратних. Якщо довжину прямокутника зменшити на 5 см, а ширину збільшити на 3 см, то площа прямокутника не зміниться. Знайдіть сторони данного прямокутника. ПОЖАЛУЙСТА! ПОМОГИТЕ!

Answer 1

Нехай $x$ см — довжина прямокутника, а $y$ см — його ширина. Площа $S$ прямокутника дорівнює добутку довжини

Якщо довжину прямокутника зменшити на 3 см, а ширину збільшити на 2 см, то його площа збільшитсья на 6 см квадратних. Отже, $(x - 3)(y + 2) = S + 6$, а саме $(x - 3)(y + 2) = xy + 6$.

Якщо довжину прямокутника зменшити на 5 см, а ширину збільшити на 3 см, то площа прямокутника не зміниться. Отже, $(x - 5)(y + 3) = S$, а саме $(x - 5)(y + 3) = xy$.

Маємо систему з двох рівнянь з двома невідомими:

$\left\{\begin{array}{ccc}(x - 3)(y + 2) = xy + 6\\(x - 5)(y + 3) = xy \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

Розв'яжимо цю систему методом додавання:

$\left\{\begin{array}{ccc}xy + 2x - 3y - 6 = xy + 6\\xy + 3x - 5y - 15 = xy \ \ \ \ \\\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc} 2x - 3y = 12 \ \ \ | \cdot (-3) \\3x - 5y = 15 \ \ \ | \cdot 2 \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc} -6x + 9y = -36 \\6x - 10y = 30 \ \ \\\end{array}\right$

Додамо почленно обидва рівняння. Отримаємо рівняння зі зімнною $y$:

$-6x + 6x + 9y - 10y = -36 + 30\\-y = -6\\y = 6$

Тоді

$2x - 3 \cdot 6 = 12\\2x - 18 = 12\\2x = 30\\x = 15$

Отже, довжина прямокутника дорівнює 15 см, а ширина — 6 см.

Відповідь: 15 см; 6 см.

Answer 2

Давайте позначимо довжину прямокутника як "L" і ширину як "W". Ми маємо дві умови: 1. Якщо довжину зменшити на 3 см і ширину збільшити на 2 см, то площа збільшиться на 6 квадратних сантиметрів. Це можна записати так: (L - 3) * (W + 2) = LW + 6 2. Якщо довжину зменшити на 5 см і ширину збільшити на 3 см, то площа залишиться незмінною. Це можна записати так: (L - 5) * (W + 3) = LW Тепер ми можемо розв'язати цю систему рівнянь, щоб знайти значення L і W. Спершу розглянемо другу умову: (L - 5) * (W + 3) = LW Розкриємо дужки: LW - 5W + 3L - 15 = LW Ліву і праву сторони можна скоротити на LW: -5W + 3L - 15 = 0 Тепер перенесемо все в одну сторону: -5W + 3L = 15 Тепер розглянемо першу умову: (L - 3) * (W + 2) = LW + 6 Розкриємо дужки: LW + 2L - 3W - 6 = LW + 6 Ліву і праву сторони можна скоротити на LW: 2L - 3W - 6 = 6 Тепер перенесемо все в одну сторону: 2L - 3W = 6 + 6 2L - 3W = 12 Тепер ми маємо систему двох рівнянь: 1. -5W + 3L = 15 2. 2L - 3W = 12 Ми можемо вирішити цю систему методом елімінації. Множимо перше рівняння на 2 і друге на 5, щоб позбавитися від змінних L: 1. -10W + 6L = 30 2. 10L - 15W = 60 Тепер додамо обидва рівняння разом: (-10W + 6L) + (10L - 15W) = 30 + 60 -10W + 6L + 10L - 15W = 90 (6L + 10L) + (-10W - 15W) = 90 16L - 25W = 90 Тепер додамо це рівняння до попереднього рівняння -5W + 3L = 15: (-5W + 3L) + (16L - 25W) = 15 + 90 -5W + 3L + 16L - 25W = 105 (3L + 16L) + (-5W - 25W) = 105 19L - 30W = 105 Тепер ми маємо нову систему рівнянь: 1. 16L - 25W = 90 2. 19L - 30W = 105 Розв'яжемо її методом елімінації. Помножимо перше рівняння на 19 і друге на 16, щоб позбавитися від змінних W: 1. 19(16L - 25W) = 19(90) 2. 16(19L - 30W) = 16(105) Отримаємо: 1. 304L - 475W = 1710 2. 304L - 480W = 1680 Віднімемо друге рівняння від першого: (304L - 475W) - (304L - 480W) = 1710 - 1680 304L - 475W - 304L + 480W = 30 5W = 30 W = 30 / 5 W = 6 Тепер, коли ми знайшли ширину (W), підставимо її в будь-яке з попередніх рівнянь, наприклад, в перше: -5W + 3L = 15 -5(6) + 3L = 15 -30 + 3L = 15 3L = 15 + 30 3L = 45 L = 45 / 3 L = 15 Отже, довжина прямокутника - 15 см, а ширина - 6 см.