Question

Відомо що а>2, в>5 довести, що 3a+2b>16

Answer 1

$\displaystyle a > 2 \\3*a > 2*3\\3a > 6$

$b > 5\\2*b > 5*2\\2b > 10$

$3a+2b > 6+10\\3a+2b > 16$

Answer 2

Для доведення нерівності 3a + 2b > 16, враховуючи a > 2 та b > 5, скористаємося нерівністю Коші-Буняковського:

(3^2 + 2^2)(a^2 + b^2) > (3a + 2b)^2,

що еквівалентне

13(a^2 + b^2) > (3a + 2b)^2.

Застосуємо нерівність arithmetico-geometric mean (AGM) для (a^2 + b^2):

(a^2 + b^2)/2 ≥ √(a^2 * b^2) = |ab|,

а потім підставимо результат в нерівність:

13(a^2 + b^2) > 13 * |ab| = 13ab.

Отримаємо:

13(ab) > (3a + 2b)^2.

Далі, використовуючи відоме нам a > 2, отримуємо:

3a + 2b > 3 * 2 + 2 * 5 = 6 + 10 = 16.

Тоді:

(3a + 2b)^2 > 16^2 = 256.

Отже,

13(ab) > (3a + 2b)^2 > 256.

Тепер залишилося довести, що 13(ab) > 256.

Враховуючи, що b > 5, маємо:

13(ab) > 13 * 2 * 5 = 130.

Отже, підсумовуючи отримані результати, ми маємо:

3a + 2b > 16, 13(ab) > 130.

Це підтверджує, що при a > 2 та b > 5, нерівність 3a + 2b > 16 справджується.