Question

Объясните, как без построения графика найти промежутки убывания и возрастания функции у=1+2tg(x-п/3)

Answer 1

Ответ:

Функция    $\displaystyle y=1+2tg\bigg(x-\frac{\pi }{3} \bigg)$     возрастает на каждом из промежутков    $\displaystyle \boldsymbol { \bigg(-\frac{\pi }{6} +n\pi;\;\;\frac{5\pi }{6} +n\pi\bigg)}$

Объяснение:

Функция y = tg(x) возрастает на каждом из промежутков (–π/2 + πn; π/2 + πn).

В нашем случае график функции по правилам смещения графика будет смещен на n/3 вправо.

соответственно и промежуток сместится вправо на n/3/

Т.е. мы получим левую границу

$\displaystyle -\frac{\pi }{2} +n\pi +\frac{\pi }{3} =-\frac{\pi }{6} +n\pi$

правую границу

$\displaystyle \frac{\pi }{2} +n\pi +\frac{\pi }{3} =\frac{5\pi }{6} +n\pi$

все остальные заморочки с другими смещениями на период возрастания функции не влияют.

Итак, ответ таков

Функция  $\displaystyle y=1+2tg\bigg(x-\frac{\pi }{3} \bigg)$   возрастает на каждом из промежутков

$\displaystyle \bigg(-\frac{\pi }{6} +n\pi;\;\;\frac{5\pi }{6} +n\pi\bigg)$

Answer 2

Поиск промежутков возрастания и убывания функции без построения графика

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции без построения графика, мы можем использовать производную функции. Производная функции показывает, как меняется функция в каждой точке. Если производная положительна в каком-то интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, то функция убывает на этом интервале.

Для данной функции у = 1 + 2tg(x - п/3), мы можем найти производную и использовать ее для определения промежутков возрастания и убывания.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции у = 1 + 2tg(x - п/3), мы можем использовать правило дифференцирования для функции тангенса и правило дифференцирования для суммы функций.

Производная функции tg(x) равна sec^2(x), где sec(x) - это секанс функции x.

Таким образом, производная функции у равна:

у' = 2 * sec^2(x - п/3)

Определение промежутков возрастания и убывания

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, мы можем проанализировать знак производной функции у' на различных интервалах.

Если у' > 0 на каком-то интервале, то функция у возрастает на этом интервале. Если у' < 0 на каком-то интервале, то функция у убывает на этом интервале.

Промежутки возрастания и убывания функции

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции у = 1 + 2tg(x - п/3), мы должны решить неравенство у' > 0 или у' < 0.

Подставим у' = 2 * sec^2(x - п/3) в неравенство:

2 * sec^2(x - п/3) > 0

sec^2(x - п/3) > 0

sec(x - п/3) ≠ 0

sec(x - п/3) - это секанс функции (x - п/3).

Известно, что секанс функции не равен нулю, поэтому у нас нет точек разрыва или вертикальных асимптот.

Таким образом, функция у = 1 + 2tg(x - п/3) возрастает на всей области определения, так как sec(x - п/3) > 0 для всех значений x.

Ответ

Функция у = 1 + 2tg(x - п/3) возрастает на всей области определения.