Question

Задана функция y=x^3/3-4x^2+12x-2 a)Найдите стационарные точки функции б)Укажите интервалы монотонности функции в) Найдите точки экстремума функции,укажите их вид. Нужно подробное решение!!!!

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y'=x^2-8x+12 (=0)

а) x=2, x=6 стационарные точки

б) Знаки производной на интервалах

___+___2___-___6___+___

Возрастает на (-∞;2] и на [6;+∞)

Убывает на [2;6]

в) x=2 точка максимума, x=6 точка минимума.

Answer 2

Заданная функция

Дана функция: y = x^3/3 - 4x^2 + 12x - 2.

a) Найдите стационарные точки функции

Стационарные точки функции - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Чтобы найти стационарные точки, найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = d/dx (x^3/3 - 4x^2 + 12x - 2) = x^2 - 8x + 12

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

x^2 - 8x + 12 = 0

Решая это квадратное уравнение, получаем два значения x:

x1 = 2 x2 = 6

Таким образом, стационарные точки функции равны x = 2 и x = 6.

б) Укажите интервалы монотонности функции

Для определения интервалов монотонности функции, найдем значения производной функции на разных интервалах. Для этого возьмем произвольные значения x в каждом интервале и определим знак производной.

1. Интервал (-∞, 2): Выберем x = 0. Подставим его в производную функции: y' = 0^2 - 8*0 + 12 = 12 Знак производной положительный (+). Значит, на этом интервале функция возрастает.

2. Интервал (2, 6): Выберем x = 4. Подставим его в производную функции: y' = 4^2 - 8*4 + 12 = 0 Знак производной равен нулю (0). Значит, на этом интервале функция имеет горизонтальный характер.

3. Интервал (6, +∞): Выберем x = 8. Подставим его в производную функции: y' = 8^2 - 8*8 + 12 = 4 Знак производной положительный (+). Значит, на этом интервале функция возрастает.

Таким образом, интервалы монотонности функции: - Функция возрастает на интервале (-∞, 2) и (6, +∞). - Функция имеет горизонтальный характер на интервале (2, 6).

в) Найдите точки экстремума функции, укажите их вид

Точки экстремума функции - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Мы уже нашли производную функции в предыдущем пункте:

y' = x^2 - 8x + 12

Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю:

x^2 - 8x + 12 = 0

Решая это квадратное уравнение, получаем два значения x:

x1 = 2 x2 = 6

Таким образом, точки экстремума функции равны x = 2 и x = 6.

Чтобы определить вид точек экстремума, проанализируем знаки второй производной функции в этих точках.

y'' = d^2/dx^2 (x^3/3 - 4x^2 + 12x - 2) = 2x - 8

1. Для x = 2: y'' = 2*2 - 8 = -4 Знак второй производной отрицательный (-). Значит, в точке x = 2 функция имеет максимум.

2. Для x = 6: y'' = 2*6 - 8 = 4 Знак второй производной положительный (+). Значит, в точке x = 6 функция имеет минимум.

Таким образом, точка экстремума x = 2 является максимумом, а точка экстремума x = 6 является минимумом.

Подробное решение

1. Найдены стационарные точки функции: x = 2 и x = 6. 2. Определены интервалы монотонности функции: - Функция возрастает на интервале (-∞, 2) и (6, +∞). - Функция имеет горизонтальный характер на интервале (2, 6). 3. Найдены точки экстремума функции: x = 2 (максимум) и x = 6 (минимум).