Question

Неравенство (x-a)(5x-2)(x+b)<0 имеет решение (-бесконечность;-7)U (2/5; 9) найдите а и b​

Answer 1

Ответ:

а = 9;  b = -7;

Объяснение:

Неравенство

(x - a) · (5x - 2) · (x + b) < 0

Решение неравенства

(-∞; -7) ∪ (2/5; 9)

Изобразим интервалы решений неравенства

\\\\\\\\\\\\\\\\ -7 ------------------ 2/5 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 9 --------------------

Очевидно, что

b = -7;   a = 9  

Проверим

(x - 9) · (5x - 2) · (x + 7) < 0

При х = -8  получаем -17 · (-42) · (-1 ) < 0  --- верно

При х = 0  получаем -9 · (-2) · 7 > 0  --- верно

При х = 8 получаем -1 · 38 ·15 < 0  --- верно

При х = 10 получаем 1 · 48 · 17 > 0 - верно

Answer 2

Для нахождения значений параметров a и b в неравенстве \((x-a)(5x-2)(x+b) < 0\), при условии, что это неравенство имеет решение \((-бесконечность;-7)U(2/5; 9)\), мы можем использовать метод интервалов. Этот метод заключается в анализе изменения знака выражения внутри неравенства на каждом из интервалов, где оно имеет разные знаки.

1. Начнем с интервала \((-бесконечность;-7)\): При \(x < -7\), все три множителя \((x-a)\), \((5x-2)\) и \((x+b)\) будут отрицательными, так как \(x < -7\), и, следовательно, это произведение будет положительным. Этот интервал не вносит изменений в знак неравенства.

2. Теперь рассмотрим интервал \((2/5; 9)\): При \(2/5 < x < 9\) множители будут иметь следующие знаки: - \((x-a)\) будет положительным, так как \(x > a\) (a - константа). - \((5x-2)\) будет положительным, так как \(x > 2/5\). - \((x+b)\) будет положительным, так как \(x > -b\) (b - константа).

Таким образом, на этом интервале все три множителя положительны, и их произведение также будет положительным.

Теперь мы знаем, что неравенство выполняется на интервалах \((-бесконечность;-7)\) и \((2/5; 9)\). Чтобы неравенство было выполнено и на всей числовой прямой, остается только учесть изменение знака в окрестности точек \(x = -7\) и \(x = 2/5\).

3. Рассмотрим интервал \((-7; 2/5)\): На этом интервале множитель \((x-a)\) будет отрицательным, так как \(x < a\), и \((5x-2)\) будет положительным, так как \(x < 2/5\). Множитель \((x+b)\) должен быть отрицательным на этом интервале, чтобы неравенство выполнялось.

4. Рассмотрим интервал \((9; +бесконечность)\): На этом интервале множители \((x-a)\), \((5x-2)\) и \((x+b)\) будут положительными, так как \(x > a\), \(x > 2/5\) и \(x > -b\). Это также не вносит изменений в знак неравенства.

Таким образом, для выполнения неравенства на всей числовой прямой необходимо, чтобы множитель \((x+b)\) был отрицательным на интервале \((-7; 2/5)\). Так как это интервал \((-7; 2/5)\) должен быть включен в решение, это означает, что \((x+b)\) должен обращаться в ноль внутри этого интервала.

Мы можем записать это условие в виде уравнения: \((x+b) = 0\) при \(x = -7\) (точка слева от \(-7\)) \((x+b) = 0\) при \(x = 2/5\) (точка справа от \(2/5\))

Теперь мы можем решить эти два уравнения для \(a\) и \(b\):

1. При \(x = -7\): \((-7 + b) = 0\) \(b = 7\)

2. При \(x = 2/5\): \((2/5 + b) = 0\) \(b = -2/5\)

Мы получили два разных значения для \(b\): \(b = 7\) и \(b = -2/5\). Это означает, что неравенство \((x-a)(5x-2)(x+b) < 0\) имеет решение на всей числовой прямой только при двух разных значениях \(b\).

Теперь давайте рассмотрим значение параметра \(a\). Как мы видели ранее, на интервале \((2/5; 9)\) неравенство выполняется при любом значении \(a\). Таким образом, параметр \(a\) может быть любым числом.

Итак, мы получили, что для неравенства \((x-a)(5x-2)(x+b) < 0\) с решением \((-бесконечность;-7)U(2/5; 9)\), параметр \(b\) может быть равен 7 или -2/5, а параметр \(a\) может быть любым числом.