Question

УМНЫЕЕЕ ПОМОГИТЕ! 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций у =3/x^2 − 2, у = 3х^3 − 2 и прямой х = 3 ( С ГРАФИКОМ!)2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 9x^2 − 9 и осью абсцисс

Answer 1

Ответ: 1)  58 кв. ед.

2)  12 кв. ед.

Объяснение:

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций у =3/x^2 − 2, у = 3х^3 − 2 и прямой х = 3

Строим график функций  у =3/x^2 − 2; у = 3х^3 − 2; х = 3.

(См. скриншот)

********

Решим систему уравнений

3/x^2 − 2= 3х^3 − 2;

x=1.

Пересечение графика f(x)=3x^3-2 с графиком x=3 =>

f(3) = 3*3^3-2 = 3*27-2 = 81-2=79.

Абсциссы точек пересечения x1=a=1;  x2=b=3.

 Площадь образованной фигуры определяем по формуле  

S=∫(a;b)f1(x)dx - ∫(a;b)f2(x)dx, где

f1(x) = 3x^3-2;

f2(x)=3/(x^2)-2.

S=∫(1;3) (3x^3-2)dx - ∫(1;3) (3/(x^2)-2)dx = 56-(-2)=58 кв. ед.

1)  ∫(1;3) (3x^3-2)dx = ∫(1;3)(3x^3)dx - ∫(1;3)2dx = 3∫(1;3)(x^3)dx - 2∫(1;3)1dx =

= 3*(x^4/4)|(1;3) -2*x|(1;3) = 3/4(3^4-1^4) - 2(3-1) = (3/4)*(81-1) - 2*2 = 60-4=56;

2)  ∫(1;3) (3/(x^2)-2)dx =3 ∫(1;3) x^(-2) dx -2 ∫(1;3)1dx = 3(1/x^2)|(1;3)-2x(1;3) =

= -(2x^2+3)/x|(1;3) = -(2*3^2+3)/3 -(2*1^2+3)/1 = -(21/3 - 5) = -(7-5)= -2.

*******************

2.  Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 9x^2 − 9 и осью абсцисс.

Строим график  y = 9x^2 − 9 и ось абсцисс у=0.

(См. скриншот)

Площадь S=∫(a;b)f1(x)-f2(x)dx.

f1(x)=0;

f2(x)=9x^2 − 9.

Пределы интегрирования a=x1 = -1;  b=x2=1.  Тогда

S=∫(-1;1)0dx - ∫(-1;1)(9x^2-9)dx = 0-(-12) = 12 кв. ед.

1)  ∫(-1;1)0dx =0.

2)   ∫(-1;1)(9x^2-9)dx = 9∫(-1;1)(x^2)dx-9∫(-1;1)1*dx = 9(x^3/3)|(-1;1)-9(x)|(-1;1) =

= 9/3(1^3-(-1^3)) - 9(1-(-1)) = 3*2-9*2 = 6-18 = -12.

Answer 2

Для решения первой задачи нужно найти точки пересечения графиков функций y = 3/x^2 - 2 и y = 3x^3 - 2 с прямой x = 3.

1. Найд