Question

1) Найти общий вид первообразных функции f(x)=6x^5-10x^4+3x^2-x+3 2) Найти первообразную функции f(x)=x^2+6, график которого проходит через точку (3:1). 3) Найти первообразную функции f(x)=2+6x^2, значение которой при x=2 положительно. 4) Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = -x^2+16 и осью абсцисс 5) Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми x=2, x=4, параболой f(x)=x^2-4x+5 и осью абсцисс.

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

1. Общий вид первообразных функции f(x) = 6x^5 - 10x^4 + 3x^2 - x + 3:

Для каждой степени x^n, где n ≠ -1, общий вид первообразной будет:

F(x) = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, для данной функции f(x) = 6x^5 - 10x^4 + 3x^2 - x + 3 первообразной будет:

F(x) = (1/6) * x^6 - (1/4) * x^5 + x^3 - (1/2) * x^2 + 3x + C

2. Найти первообразную функции f(x) = x^2 + 6, график которого проходит через точку (3:1):

Для нахождения первообразной функции, добавим к f(x) произвольную постоянную C:

F(x) = (1/3) * x^3 + 6x + C

Теперь, чтобы удовлетворить условию, что график проходит через точку (3:1), подставим значения x и y и найдем C:

1 = (1/3) * 3^3 + 6 * 3 + C 1 = 9 + 18 + C C = 1 - 27 C = -26

Итак, первообразная функции f(x) = x^2 + 6, проходящая через точку (3:1), будет:

F(x) = (1/3) * x^3 + 6x - 26

3. Найти первообразную функции f(x) = 2 + 6x^2, значение которой при x = 2 положительно:

Для нахождения первообразной функции, добавим к f(x) произвольную постоянную C:

F(x) = 2x + (6/3) * x^3 + C

Теперь, чтобы удовлетворить условию, что значение функции при x = 2 положительно, подставим x = 2 и найдем C:

F(2) = 2 * 2 + (6/3) * 2^3 + C F(2) = 4 + 16 + C F(2) = 20 + C

Мы хотим, чтобы F(2) было положительно, поэтому выберем C > -20. Допустим, возьмем C = -15.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 2 + 6x^2, значение которой при x = 2 положительно, будет:

F(x) = 2x + (6/3) * x^3 - 15

4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = -x^2 + 16 и осью абсцисс:

Данная функция задает параболу ветвями вниз с вершиной в точке (0:16). Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этим графиком и осью абсцисс, мы должны найти площадь под кривой функции от x = -4 до x = 4 и, затем, взять модуль этого значения, так как функция f(x) может быть отрицательной.

Площадь фигуры можно найти интегрированием модуля функции f(x):

Площадь = ∫[от -4 до 4] |(-x^2 + 16)| dx

Разбиваем интеграл на две части из-за модуля:

Площадь = ∫[от -4 до 0] (x^2 - 16) dx + ∫[от 0 до 4] (16 - x^2) dx

Теперь найдем интегралы:

∫(x^2 - 16) dx = (x^3/3 - 16x) + C1 ∫(16 - x^2) dx = (16x - x^3/3) + C2

Теперь вычислим значения в пределах интегрирования:

∫[от -4 до 0] (x^2 - 16) dx = [(0^3/3 - 160) - ((-4)^3/3 - 16(-4))] = [0 - (64/3 + 64)] = -64/3 - 64

∫[от 0 до 4] (16 - x^2) dx = [(16*4 - 4^3/3) - (0 - 0^3/3)] = [(64 - 64/3) - 0] = 192/3 - 64/3 = 128/3

Теперь возьмем модуль площади:

|Площадь| = |(-64/3 - 64) + (128/3)| = |64/3| = 64/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = -x^2 + 16 и осью абсцисс, равна 64/3.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми x = 2, x = 4, параболой f(x) = x^2 - 4x + 5 и осью абсцисс:

Сначала определим точки пересечения параболы с прямыми x = 2 и x = 4:

Для x = 2: f(2) = 2^2 - 4*2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1

Для x = 4: f(4) = 4^2 - 4*4