Question

Тело движется прямолинейно с ускорением, пропорциональным произведению времени и скорости. Найти зависимость между скоростью и временем, если V(0)=20 м\с, а при V(2)=40 м\с.

Answer 1

V-скорость

а-ускорение

a(t)=V`(t)

a=kVt

k-коэффициент пропорциональности

V`=ktV

V`-ktV=0-делю все на V

V`/V=kt

V=e^(kt)+C

подставляю начальные условия

V(0)=20=e^0+C=1+C; C=19

V(2)=40=e^(2k)+19

e^(2k)=21

2k=ln21

k=0.5ln21

V(t)=e^(0.5ln*t)+19

Answer 2

Дано, что тело движется прямолинейно с ускорением, пропорциональным произведению времени и скорости. Мы должны найти зависимость между скоростью и временем, при условии, что начальная скорость V(0) равна 20 м/с, а скорость через 2 секунды V(2) равна 40 м/с.

Для решения этой задачи, мы можем использовать уравнение движения, которое связывает ускорение, скорость и время:

V(t) = V(0) + at

где: V(t) - скорость в момент времени t, V(0) - начальная скорость, a - ускорение, t - время.

В данной задаче ускорение пропорционально произведению времени и скорости, поэтому мы можем записать:

a = ktV(t)

где k - постоянная пропорциональности.

Теперь мы можем подставить это выражение для ускорения в уравнение движения:

V(t) = V(0) + kV(t)t

Для решения этого уравнения, сначала выделим V(t) в левую часть уравнения:

V(t) - kV(t)t = V(0)

Теперь вынесем V(t) за скобки:

V(t)(1 - kt) = V(0)

И, наконец, разделим обе части на (1 - kt):

V(t) = V(0) / (1 - kt)

Теперь мы можем использовать начальные значения, чтобы найти конкретную зависимость между скоростью и временем. Подставим V(0) = 20 м/с и V(2) = 40 м/с:

V(2) = 20 / (1 - 2k) = 40

Мы можем решить это уравнение относительно k:

1 - 2k = 20 / 40 = 1 / 2

2k = 1 - 1 / 2 = 1 / 2

k = 1 / 4

Теперь, зная k, мы можем записать окончательную зависимость между скоростью и временем:

V(t) = 20 / (1 - (1 / 4)t)

Таким образом, зависимость между скоростью и временем данного движения будет выражаться формулой V(t) = 20 / (1 - (1 / 4)t).