Question

Решить дифференциальные уравнения: 1) x²dy+(y-1)dx=0

Answer 1

Ответ:

${x}^{2} dy + (y - 1)dx = 0 \\ {x}^{2} dy = - (y - 1)dx \\ {x}^{2} dy = (1 - y)dx \\ \frac{dy}{1 - y} = \frac{dx}{ {x}^{2} }$

берем интеграль

$ln |1 - y| = - \frac{1}{x} + c \\ 1 - y = {e}^{c - \frac{1}{x} } \\ y = 1 - {e}^{c} \times {e}^{ - \frac{1}{x} } \\ y = 1 - c {e}^{ - \frac{1}{x} }$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения вида `x²dy+(y-1)dx=0`, можно использовать метод подстановки под дифференциал.

1. Сначала заметим, что у нас есть дифференциалы `dy` и `dx`. Это упрощает нам решение, поскольку мы можем просто интегрировать обе стороны уравнения, чтобы получить общее решение.

2. Интегрируем обе стороны уравнения:

   ∫x²dy = ∫(y-1)dx
   

3. Решим каждый интеграл отдельно:

   ∫x²dy = 1/3x³ + C₁
   ∫(y-1)dx = 1/2y² - x + C₂
   

Здесь `C₁` и `C₂` - это константы интегрирования.

4. Теперь, чтобы найти частное решение, которое удовлетворяет заданному начальному условию, нужно подставить `x = 0` и `y = 1` в обе стороны уравнения. Это даст нам два уравнения с двумя неизвестными (`C₁` и `C₂`), которые можно решить, чтобы найти значения констант.

5. В общем решении вместо `x` подставляем ноль, а вместо `y` логарифм двух.

6. Подставляем найденное значение константы `C=1` в общее решение.

Итак, общее решение дифференциального уравнения `x²dy+(y-1)dx=0` будет выглядеть следующим образом:

y(x) = 1/2x² + C₁x³ + C₂

где `C₁` и `C₂` - это константы интегрирования, которые можно определить из начальных условий задачи .