Question

Помогите решить пожалуйста (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 (x+y)dx+xdy=0 X²dy/dx=2xy+3

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ (1+x)\, y\, dx+(1-y)\, x\, dy=0$

Дифф. уравнение 1 пор. с разделяющимися переменными .

$\displaystyle \int \dfrac{(1+x)\, dx}{x}=-\int \frac{(1-y)\, dy}{y}\\\\\\\int \Big(\frac{1}{x}+1\Big)\, dx=-\int \Big(\frac{1}{y}-1\Big)\, dy\\\\\\\underline {ln|x|+x=-ln|y|+y+C\ }\\\\\\2)\ \ (x+y)\, dx+x\, dy=0$  

Дифф. ур-е 1 пор. с однородными функциями .

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x+y}{x}\ \ ,\ \ y'=-\frac{x+y}{x}\ \ ,\ \ \ y'=-1-\frac{y}{x} \ \\\\\\Zamena:\ \ t=\frac{y}{x}\ ,\ y=tx\ ,\ y'=t'x+t\\\\t'x+t=-1-t\ \ ,\ \ t'x=-1-2t\ \ ,\ \ \frac{dt}{dx}=-\frac{1+2t}{x}\ \ ,\\\\\\\int \frac{dt}{1+2t}=-\int \frac{dx}{x}\ \ ,\\\\\\\frac{1}{2}\cdot ln|1+2t|=-ln|x|-lnC\ \ \ \to \ \ \ \sqrt{1+2t}=\frac{1}{Cx}\\\\\\\sqrt{1+\frac{2y}{x}}=\frac{1}{Cx}\ \ ,\ \ \ \sqrt{\frac{x+2y}{x}}=\frac{1}{Cx}\ \ ,\ \ \underline{\ C\sqrt{x\, (x+2y)}=1\ }$

$\displaystyle 2)\ \ x^2\cdot \frac{dy}{dx}=2xy+3\ \ \to \ \ \ x^2\cdot y'=2xy+3\ \ \to \\\\\\y'-\frac{2}{x}\cdot y=\frac{3}{x^2}$

Линейное дифф. ур-е 1 порядка .  Замена:  $y=uv\ ,\ y'=u'v+yv'$  .

$\displaystyle u'v+uv'-\frac{2}{x}uv=\frac{3}{x^2}\ \ ,\ \ \ u'v+u\cdot \Big(v'-\frac{2}{x}\, v\Big)=\frac{3}{x^2}\\\\a)\ \ v'-\frac{2}{x}\, v=0\ \ ,\ \ \int \frac{dv}{v}=\int \frac{2\, dx}{x}\ \ ,\ \ ln|v|=2\, ln|x|\ \ ,\ \ \underline {v=x^2}\ .$

$\displaystyle b)\ \ u'v=\frac{3}{x^2}\ \ ,\ \ \frac{du}{dx}\cdot x^2=\frac{3}{x^2} \ \ ,\ \ \int du=3\int \frac{dx}{x^4}\ \ ,\ \ u=3\cdot \frac{x^{-3}}{-3}+C\ ,\\\\\\\underline{\ u=-\frac{1}{x^3}+C\ }\\\\\\c)\ \ y=x^2\, \Big(-\frac{1}{x^3}+C\Big)\ \ ,\ \ \ \underline{\ y=-\frac{1}{x}+Cx^2\ }$  

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из уравнений по очереди.

1. Уравнение (1 + x)ydx + (1 - y)xdy = 0:

Для начала, давайте выразим ydx и xdy:

(1 + x)ydx = - (1 - y)xdy

Теперь разделим оба члена на y и x, соответственно:

(1 + x)/x dx = - (1 - y)/y dy

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫[(1 + x)/x] dx = ∫[-(1 - y)/y] dy

Для левой стороны мы можем разделить числитель на x:

∫(1/x + 1) dx = ∫[-(1 - y)/y] dy

∫(1/x) dx + ∫ dx = -∫[(1 - y)/y] dy

ln|x| + x = -ln|y| + C1, где C1 - константа интеграции.

Теперь переносим все члены, содержащие x, на одну сторону, а все члены, содержащие y, на другую:

ln|x| - ln|y| + x - C1 = 0

Теперь используем свойство логарифмов:

ln(|x/y|) + x - C1 = 0

Теперь можно преобразовать это уравнение следующим образом:

ln(|x/y|) = -x + C1

Теперь возведем обе стороны в экспоненту:

|x/y| = e^(-x + C1)

|x/y| = e^(-x) * e^(C1)

Поскольку e^(C1) является положительной константой, мы можем переписать это уравнение следующим образом:

|x/y| = C2 * e^(-x), где C2 = e^(C1)

Теперь, если рассматривать абсолютное значение, у нас есть два возможных случая:

1. x/y = C2 * e^(-x)
2. x/y = -C2 * e^(-x)

Далее мы можем рассмотреть каждый случай отдельно, чтобы найти решение для y(x).

2. Уравнение (x + y)dx + xdy = 0:

Это линейное уравнение первого порядка, и его можно решить, используя метод интегрирующего множителя. Давайте найдем интегрирующий множитель (μ):

μ = e^(∫(Mdx - Ndy)), где M = x + y и N = x

∫(Mdx - Ndy) = ∫((x + y)dx - xdy) = ∫(xdx + ydx - xdy) = ∫(xdx + y(dx - dy))

Теперь мы видим, что dx - dy встречается в последнем члене. Давайте разделим оба члена на (dx - dy):

∫(xdx + y(dx - dy)) = ∫(xdx) + ∫y(dx - dy)

Теперь можем интегрировать каждый член отдельно:

∫xdx + ∫y(dx - dy) = (1/2)x^2 + y - y = (1/2)x^2 = ln|μ|

Теперь мы можем выразить μ:

μ = e^((1/2)x^2)

Теперь у нас есть интегрирующий множитель, и мы можем умножить исходное уравнение на него:

e^((1/2)x^2)(x + y)dx + e^((1/2)x^2)xdy = 0

Это уравнение можно записать как полный дифференциал:

d(e^((1/2)x^2)(x + y)) = 0

Теперь проинтегрируем его:

∫d(e^((1/2)x^2)(x + y)) = ∫0

e^((1/2)x^2)(x + y) = C2, где C2 - константа интеграции.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. |x/y| = C2 * e^(-x)
2. e^((1/2)x^2)(x + y) = C2

Эти уравнения определяют решение вашей системы. Вы можете решить ее численно или провести дополнительные анализы в зависимости от конкретных параметров и условий задачи.