Question

дифференциальное уравнение x²dy+ydx=0; y(1)=e

Answer 1

Имеем дифференциальное уравнение x^2 dy + y dx = 0;
Разделим переменные:
x^2 dy = -y dx; dy/y = -dx/x^2;
Теперь можно интегрировать левую и правую части
∫dy/y = -∫dx/x^2;
ln(y) = 1/x + C;
ln(y) = (1/x) ln(e) + C ln(e) = ln(e^(1/x)) + ln(e^C) = ln(e^(1/x + C));
Отсюда y = e^(1/x + C) или y = e^C * e^(1/x)
e^C - произвольная константа, которую можно заменить одной константой (буквой). Пусть это будет тоже буква С, это не играет никакой роли.
Итак, общее решение y = C e^(1/x)
Известно, что y(1) = e; Используем данный факт, чтобы найти С.
y(1) = C e^(1/1)  = e; Или C*e = e, откуда C = 1.
Окончательно, частное решение имеет вид y = e^(1/x)

Answer 2

Конечно, это дифференциальное уравнение, которое можно решить с помощью метода разделения переменных.

У вас дано уравнение \(x^2 dy + y dx = 0\) и начальное условие \(y(1) = e\). Давайте начнём с переписывания уравнения, чтобы выразить дифференциалы в одной части уравнения:

\[x^2 dy + y dx = 0\]

Теперь попробуем выразить \(dy\) и \(dx\) через \(y\) и \(x\) соответственно:

\[x^2 dy = -y dx\]

\[dy = -\frac{y}{x^2} dx\]

Теперь мы можем разделить переменные, переместив все \(y\)-связанные части в одну сторону, а \(x\)-связанные части в другую:

\[\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x^2}\]

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

\[\int \frac{1}{y} dy = -\int \frac{1}{x^2} dx\]

Интегрируя, получим:

\[\ln|y| = \frac{1}{x} + C\]

где \(C\) - постоянная интеграции.

Теперь применим начальное условие \(y(1) = e\):

\[\ln|e| = \frac{1}{1} + C\]

\[\ln(1) = 1 + C\]

\[0 = 1 + C\]

\[C = -1\]

Таким образом, у нас получается:

\[\ln|y| = \frac{1}{x} - 1\]

Теперь применим экспоненту к обеим сторонам уравнения, чтобы выразить \(y\):

\[|y| = e^{\frac{1}{x} - 1}\]

\[y = \pm e^{\frac{1}{x} - 1}\]

Однако мы помним, что начальное условие \(y(1) = e\), значит, \(y\) положительно при \(x = 1\), поэтому берём положительное решение:

\[y = e^{\frac{1}{x} - 1}\]

Таким образом, решение дифференциального уравнения с начальным условием \(y(1) = e\) выглядит как \(y = e^{\frac{1}{x} - 1}\).