Question

Найдите x^2+y^2 из системы уравнений xy(x+y)=-2 x^3+y^3=14

Answer 1

Ответ 6.

Решение задачи прилагаю

Answer 2

$xy\cdot (x+y) = -2$

$x^3 + y^3 = 14$

$x^3 + y^3 = (x+y)\cdot (x^2 + y^2 - xy) = 14$

$\frac{(x+y)\cdot (x^2 + y^2 - xy)}{xy\cdot (x+y)} = \frac{14}{-2}$

$\frac{x^2 + y^2 - xy}{xy} = -7$

$\frac{x^2+y^2}{xy} - 1 = -7$

$\frac{x^2 + y^2}{xy} = -6$

$xy\cdot (x+y) = -2$

$\left(xy\cdot (x+y)\right)^2 = (-2)^2$

$(xy)^2\cdot (x+y)^2 = 4$

$(xy)^2\cdot (x^2 + y^2 + 2xy) = 4$

$(xy)^3\cdot(\frac{x^2 + y^2}{xy} + 2) = 4$

$(xy)^3\cdot( -6+2) = 4$

$(xy)^3\cdot(-4) = 4$

$(xy)^3 = -1$

$xy = \sqrt[3]{-1} = -1$

$xy\cdot (x+y) = -2$

$(-1)\cdot (x+y) = -2$

$x+y = 2$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 2^2 -2\cdot(-1) = 4 + 2 = 6$

Answer 3

Для начала, рассмотрим первое уравнение xy(x+y) = -2:

Если x = 0, то одна из переменных равна нулю. Заметим, что уравнение xy(x+y) = -2 не имеет решения при x = 0 и y ≠ 0, так как левая часть будет равна нулю, а правая -2. Значит, в этом случае y = 0.

Если y = 0, то получаем уравнение x^3 = 14, которое не имеет рациональных корней, следовательно, y ≠ 0.

Таким образом, мы получили два частных решения: (x, y) = (0, 0) и (x, y) = (∛14, 0).

Рассмотрим теперь второе уравнение x^3 + y^3 = 14:

Возведем оба уравнения в куб:

(x^3 + y^3)(x^3 + y^3) = (14)(14) (x^3)^2 + 2*(x^3)*(y^3) + (y^3)^2 = 196 x^6 + 2x^3y^3 + y^6 = 196

Подставим вместо x^6 + 2x^3y^3 + y^6 значение из первого уравнения:

4 + 2x^3y^3 = 196 2x^3y^3 = 192 x^3y^3 = 96

Возведем оба уравнения в квадрат:

(x^3y^3)^2 = 96^2 x^6y^6 = 9216

Подставим вместо x^6y^6 значение из второго уравнения:

(196 - x^6 - y^6)^2 = 9216 196 - 2(x^6 + y^6) + (x^6 + y^6)^2 = 9216 (x^6 + y^6)^2 - 2(x^6 + y^6) - 9020 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно (x^6 + y^6):

(x^6 + y^6)^2 - 2(x^6 + y^6) - 9020 = 0 (x^6 + y^6 + 70)(x^6 + y^6 - 128) = 0

Таким образом, получили два квадратных уравнения:

x^6 + y^6 + 70 = 0 или x^6 + y^6 - 128 = 0

Решим первое уравнение:

x^6 + y^6 = -70

Заметим, что x^6 и y^6 не могут быть отрицательными числами, иначе левая часть уравнения будет положительной. Значит, это уравнение не имеет решений.

Теперь решим второе уравнение:

x^6 + y^6 = 128

Подставив x^3y^3 = 96 из первого уравнения, получим:

x^6 + (x^3y^3)^2 = 128 x^6 + 9216 = 128 x^6 = -9088

Видим, что x^6 не может быть отрицательным числом, поэтому это уравнение не имеет решений.

Таким образом, с учетом первого уравнения, система уравнений не имеет решений.