Question

Корень (5x - x^2) < x - 2. С подробным решением пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{5x-x^2}0\\5x-x^2\geq 0\\5x-x^2< (x-2)^2\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}x>2\\-x(x-5)\geq 0\\5x-x^22\\x\in [\, 0\, ;\, 5\, ]\\2x^2-9x+4>0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\in (\, 2\, ;\, 5\ ]\\x\in (-\infty ;\dfrac{1}{2})\cup (\, 4\, ;+\infty )\end{array}\right\ \Rightarrow$

$Otvet:\ \ x\in (\, 4\, ;\, 5\ ]\ .\\\\\\\star \ \ 2x^2-9x+4=0\ ,\ \ D=49\ ,\ \ x_1=\dfrac{9-7}{4}=\dfrac{1}{2}\ ,\ \ x _2=\dfrac{9+7}{4}=4\\\\2x^2-9x+4=2(x-\dfrac{1}{2})(x-4)>0\\\\znaki:\ \ +++(\dfrac{1}{2}\, )---(\, 4\, )+++\\\\x\in (-\infty ;\, \dfrac{1}{2}\, )\cup (\, 4\, ;+\infty \, )$

Answer 2

Давайте решим данное неравенство пошагово. Итак, у нас есть неравенство:

√(5x - x^2) < x - 2

Шаг 1: Переносим все члены неравенства на одну сторону, чтобы получить неравенство равносильное исходному:

√(5x - x^2) - (x - 2) < 0

Шаг 2: Теперь возведем обе стороны неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня. Однако, при этом мы должны учесть изменение знака, так как взятие корня может менять направление неравенства:

[√(5x - x^2) - (x - 2)]^2 < 0^2

(5x - x^2) - 2(x - 2)√(5x - x^2) + (x - 2)^2 < 0

Шаг 3: Раскроем скобки и упростим выражение:

5x - x^2 - 2x + 4 - 2(x - 2)√(5x - x^2) + x^2 - 4x + 4 < 0

Шаг 4: Упростим еще:

-2x + 8 - 2(x - 2)√(5x - x^2) < 0

-2x + 8 - 2x + 4√(5x - x^2) < 0

Шаг 5: Теперь группируем похожие члены:

-4x + 4√(5x - x^2) + 8 < 0

Шаг 6: Выразим 4√(5x - x^2) как 4√x(5 - x):

-4x + 4√x(5 - x) + 8 < 0

Шаг 7: Разделим все выражение на 4:

- x + √x(5 - x) + 2 < 0

Шаг 8: Теперь рассмотрим это выражение как квадратное уравнение в переменной √x. Для этого введем новую переменную t = √x:

- t^2 + 5t - t^2 + 2t + 2 < 0

Шаг 9: Упростим еще:

5t + 2 < 0

Шаг 10: Решим это уравнение:

5t + 2 < 0 5t < -2 t < -2/5

Шаг 11: Вернемся к исходной переменной √x:

√x < -2/5

Шаг 12: Возводим обе стороны неравенства в квадрат, учитывая, что √x всегда неотрицательное значение:

x < (-2/5)^2 x < 4/25

Итак, решение данного неравенства:

x < 4/25

Это означает, что для любого значения x, которое меньше 4/25, неравенство √(5x - x^2) < x - 2 выполняется.