Question

Величины x и y заданы как функции от параметра t. Исключая t, получается зависимость y от x. Определить характер этой зависимости? x=at+b y=ct+d a,b,c,d-const ac не равно 0

Answer 1

Ответ:

Линейная

Объяснение:

Величины x и y заданы как функции от параметра t:

$\displaystyle \tt \left \{ {{x=a \cdot t+b} \atop {y=c \cdot t+d}} \right. .$

Чтобы исключить t и получить зависимость y от x в первом уравнении t выражаем через x и подставляем во второе уравнение:

$\displaystyle \tt \left \{ {{a \cdot t=x-b} \atop {y=c \cdot t+d}} \right. \\\\\left \{ {{t=\dfrac{x-b}{a} } \atop {y=c \cdot \dfrac{x-b}{a} +d}} \right.\\\\\left \{ {{t=\dfrac{x-b}{a} } \atop {y=\dfrac{c}{a} \cdot x +(d-\dfrac{c \cdot b} {a} ) }} \right. .$

В итоге получаем зависимость y от x следующего вида:

y = k·x+m,

где $\displaystyle \tt k=\dfrac{c}{a} ,\; m=(d-\dfrac{c \cdot b} {a} ) },$ которая называется линейной зависимостью.

Answer 2

Исключая параметр t, можно записать заданные функции в виде y = f(x), то есть y является функцией от x. Для того чтобы определить характер этой зависимости, воспользуемся информацией о коэффициентах a, b, c, d.

Из уравнений x = at + b и y = ct + d видно, что x и y зависят только от параметра t и не зависят непосредственно друг от друга. Однако, исключая параметр t, мы можем получить выражение для y через x.

Разрешим первое уравнение относительно t: t = (x - b) / a

Подставим это выражение для t во второе уравнение: y = c((x - b) / a) + d

Раскроем скобки и упростим: y = (cx - cb) / a + d

Таким образом, получаем выражение для y через x: y = (c/a)x - (cb/a) + d

Теперь видно, что y представляет собой линейную функцию от x с коэффициентом наклона равным c/a и свободным членом -cb/a + d.

Итак, характер зависимости между x и y – линейная зависимость, причем наклон прямой определяется отношением между коэффициентами c и a, а точка пересечения с осью y определяется выражением -cb/a + d.