Question

Найдите область определения функции: у=корень из -х 2+ 3х – 2.

Answer 1

-х²+3х-2≥0, х²-3х+2≤0, По Виету х²-3х+2=0, если х=1, х=2

____1_________2___________

+                 -                  +

х∈[1;2]

Answer 2

Чтобы найти область определения функции \(y = \sqrt{-x^2 + 3x - 2}\), нужно учесть, что подкоренное выражение (\(-x^2 + 3x - 2\)) должно быть неотрицательным. Ведь корень из отрицательного числа не определен в действительных числах.

Чтобы найти, в каком интервале \(y\) будет неотрицательным, давайте рассмотрим уравнение:

\(-x^2 + 3x - 2 \geq 0\).

Это квадратное неравенство можно решить, например, с помощью графического метода, разбив область на интервалы и анализируя знак выражения на каждом интервале. Или же вы можете использовать дискриминант квадратного уравнения, чтобы определить, когда выражение \(-x^2 + 3x - 2\) равно нулю.

Сначала найдем дискриминант уравнения \(-x^2 + 3x - 2 = 0\):

Дискриминант \(\Delta = b^2 - 4ac\), где \(a = -1\), \(b = 3\), и \(c = -2\).

\(\Delta = 3^2 - 4(-1)(-2) = 9 - 8 = 1\).

Дискриминант положителен, что означает, что уравнение имеет два различных корня. Мы можем найти эти корни, используя квадратное уравнение:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).

\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2(-1)}\).

\(x = \frac{-3 \pm 1}{-2}\).

Таким образом, корни уравнения \(-x^2 + 3x - 2 = 0\) равны \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2\).

Теперь мы знаем, что выражение \(-x^2 + 3x - 2\) равно нулю при \(x = 1\) и \(x = -2\). Мы можем использовать эти точки, чтобы разбить область на интервалы. Выберем точку в каждом интервале и проверим знак выражения \(-x^2 + 3x - 2\) в этой точке.

1. Если \(x < -2\), то \(-x^2 + 3x - 2\) положительно, так как все коэффициенты отрицательны, и \(x^2\) всегда положителен. Таким образом, этот интервал подходит.

2. Если \(-2 < x < 1\), то \(-x^2 + 3x - 2\) отрицательно, так как \(x^2\) положителен, но коэффициент перед \(x^2\) отрицателен. Таким образом, этот интервал не подходит.

3. Если \(x > 1\), то \(-x^2 + 3x - 2\) снова положительно, так как \(x^2\) положителен. Этот интервал подходит.

Итак, область определения функции \(y = \sqrt{-x^2 + 3x - 2}\) - это объединение двух интервалов:

\[x \leq -2 \quad \text{и} \quad x \geq 1.\]

То есть, \(x\) принимает все значения, меньшие или равные -2, а также все значения, большие или равные 1.