Question

Постройте график функции: y=8-4x/x^2-2x. помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$y=8-\frac{4x}{x^2}-2x$

На 0 делить нельзя. Область определения: (-∞;0)∪(0;∞)

$\lim_{x \to +0} (8-\frac{4x}{x^2}-2x)=-\infty \\ \lim_{x \to -0} (8-\frac{4x}{x^2}-2x)=\infty$

Т.к х не равен 0, то точек пересечения с осью у нет. Находим точки пересечения с осью х.

$8-\frac{4x}{x^2}-2x=8-\frac{4}{x}-2x=\frac{8x-4-2x^2}{x}\\ \frac{8x-4-2x^2}{x}=0\\8x-4-2x^2=0\\x^2-4x+2=0$

Решаем квадратное уравнение, находим точки пересечения с осью х:

$x_1=2-\sqrt{2} \\x_2=2+\sqrt{2}$

Находим точки экстремума (производная равна нулю).

$(8-\frac{4x}{x^2}-2x)'=(8-\frac{4}{x}-2x)'=\frac{4}{x^2}-2;\\ \frac{4}{x^2}-2=0\\ \frac{2}{x^2}=1\\x=\pm \sqrt{2};\ \ y(-\sqrt{2})=8+4\sqrt{2};\ \ y(2)=8-4\sqrt{2}$

Для нахождения точек перегиба находим вторую производную

$y''=(\frac{4}{x^2}-2)'= (4x^{-2}-2)'=-\frac{8}{x^3}$

Вторая производная нигде не равна нулю, точек перегиба нет.

Горизонтальных асимптот нет. Вертикальная асимптота одна: х=0.

Ищем наклонную асимптоту:

$k= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \pm \infty} (\frac{8}{x}-\frac{4}{x^2}-2 )=-2$

$b= \lim_{x \to \pm \infty} (f(x)}-k{x})= \lim_{x \to \pm \infty} (8-\frac{4}{x}-2x+2x )=8$

Наклонная асимптота есть:

$y=-2x+8$

Дальнейшее исследование проводим, заполняя таблицу (см. рис.1).

Answer 2

Для построения графика функции \(y = \frac{8 - 4x}{x^2 - 2x}\) мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдем точки, в которых функция может иметь вертикальные асимптоты. Это происходит, когда знаменатель равен нулю, то есть \(x^2 - 2x = 0\). Решим это уравнение:

\(x^2 - 2x = 0\)

Факторизуем:

\(x(x - 2) = 0\)

Таким образом, \(x = 0\) и \(x = 2\) - это точки, где функция может иметь вертикальные асимптоты.

2. Теперь найдем горизонтальную асимптоту. Для этого нужно рассмотреть предел функции при \(x \to \infty\):

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{8 - 4x}{x^2 - 2x}\]

Для этого разделим числитель и знаменатель на \(x^2\):

\[\lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{8}{x^2} - \frac{4x}{x^2}}{1 - \frac{2x}{x^2}}\]

Теперь устремим \(x\) к бесконечности:

\[\frac{0}{1} = 0\]

Это означает, что у функции есть горизонтальная асимптота на высоте \(y = 0\).

3. Теперь найдем точку, в которой график функции пересекает оси \(x\) и \(y\). Для этого установим \(y = 0\) и решим уравнение:

\[0 = \frac{8 - 4x}{x^2 - 2x}\]

Это уравнение равносильно:

\[8 - 4x = 0\]

Решение:

\[4x = 8\]

\[x = 2\]

Таким образом, функция пересекает ось \(x\) в точке \(x = 2\).

4. Теперь построим график, используя найденные точки и информацию о вертикальных и горизонтальных асимптотах.

- Вертикальные асимптоты: \(x = 0\) и \(x = 2\). - Горизонтальная асимптота: \(y = 0\). - Пересечение с осью \(x\): \(x = 2\).

Теперь построим график:

(Пожалуйста, обратите внимание, что график будет приближенным и несовершенным из-за ограниченных ресурсов текстового формата. Для точного построения графика вам нужно использовать графический инструмент, такой как графический калькулятор или компьютерная программа.)

- График функции будет иметь вертикальную асимптоту в \(x = 0\) и \(x = 2\). - Горизонтальная асимптота будет на высоте \(y = 0\). - График будет пересекать ось \(x\) в точке \(x = 2\). - График будет убывать, когда \(x \to \infty\) и \(x \to -\infty\). - Между вертикальными асимптотами, график будет менять направление в зависимости от значения \(x\) и знака числителя и знаменателя.

Таким образом, график функции \(y = \frac{8 - 4x}{x^2 - 2x}\) будет иметь вертикальные асимптоты в \(x = 0\) и \(x = 2\), горизонтальную асимптоту на \(y = 0\) и пересечет ось \(x\) в точке \(x = 2\).