Question

Помогите решить задачу Коши 3y^2dy=x^2dx, y(3)=1

Answer 1

3y^2dy=x^2dx, y(3)=1

y^3=(1/3)x^3+C

y(3)=1=> 1^3=(1/3)*3^3+C => C=-8

y^3=(1/3)x^3-8

y=³√((1/3)x^3-8)

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение \(3y^2 \, dy = x^2 \, dx\) с начальным условием \(y(3) = 1\).

Для решения этого уравнения используем метод разделения переменных. Сначала перепишем уравнение в виде, удобном для интегрирования:

\[3y^2 \, dy = x^2 \, dx\]

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения по соответствующим переменным:

\[\int 3y^2 \, dy = \int x^2 \, dx\]

Интегрируем левую часть:

\[\int 3y^2 \, dy = y^3 + C_1\]

Интегрируем правую часть:

\[\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_2\]

Где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные интеграции.

Теперь у нас есть:

\[y^3 = \frac{x^3}{3} + C\]

где \(C\) - новая константа, объединяющая в себе произвольные константы \(C_1\) и \(C_2\).

Теперь нужно найти значение константы \(C\) с использованием начального условия \(y(3) = 1\):

Когда \(x = 3\), \(y = 1\):

\[1^3 = \frac{3^3}{3} + C\] \[1 = 9 + C\] \[C = -8\]

Итак, наше частное решение уравнения выглядит как:

\[y^3 = \frac{x^3}{3} - 8\]

Теперь, чтобы выразить \(y\) относительно \(x\), нужно возвести обе стороны уравнения в степень \(1/3\):

\[y = \sqrt[3]{\frac{x^3}{3} - 8}\]

Это выражение представляет собой частное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием \(y(3) = 1\).